The Metaphysical Principles of the Infinitesimal Calculus Quotes

“concevoir l’Infini quantitativement, ce n’est pas seulement le borner, mais c’est encore, par surcroît, le concevoir comme susceptible d’augmentation ou de diminution, ce qui n’est pas moins absurde ; avec de semblables considérations, on en arrive vite à envisager non seulement plusieurs infinis qui coexistent sans se confondre ni s’exclure, mais aussi des infinis qui sont plus grands ou plus petits que d’autres infinis, et même, l’infini étant devenu si relatif dans ces conditions qu’il ne suffit plus, on invente le « transfini », c’est-à-dire le domaine des quantités plus grandes que l’infini ; et c’est bien d’ « invention » qu’il s’agit proprement alors, car de telles conceptions ne sauraient correspondre à rien de réel : autant de mots, autant d’absurdités, même au regard de la simple logique élémentaire, ce qui n’empêche pas que, parmi ceux qui les soutiennent, il s’en trouve qui ont la prétention d’être des « spécialistes » de la logique, tellement grande est la confusion intellectuelle de notre époque !”
― René Guénon, The Metaphysical Principles of the Infinitesimal Calculus

“to conceive of the Infinite quantitatively is not only to limit it, but in addition it
is to conceive of it as subject to increase and decrease, which is no less absurd; with similar considerations one quickly finds oneself envisaging not only several infinites that coexist without confounding or excluding one another, but also infinites that are larger or smaller than others; and finally, the infinite having become so relative under these conditions that it no longer suffices, the ‘transfinite’ is invented, that is, the domain of quantities greater than the infinite. Here, indeed, it is properly a matter of ‘invention, for such conceptions correspond to no reality. So many words, so many absurdities, even regarding simple, elementary logic, yet this does not prevent one from finding among those responsible some who even claim to be ‘specialists’ in logic, so great is the intellectual confusion of our times!”
― René Guénon, The Metaphysical Principles of the Infinitesimal Calculus

“[...] These observations will allow us to understand more precisely in what sense one can say, as we did at the beginning, that the limits of the indefinite can never be reached through any analytical procedure, or, in other words, that the indefinite, while not absolutely and in every way inexhaustible, is at least analytically inexhaustible. In this regard, we must naturally consider those procedures analytical which ,in order to reconstitute a whole, consist in taking its elements distinctly and successively; such is the procedure for the formation of an arithmetical sum, and it is precisely in this regard that it differs essentially from integration. This is particularly interesting from our point of view, for one can see in it, as a very clear example, the true relationship between analysis and synthesis: contrary to current opinion, accordng to which analysis is as it were a preparation for synthesis, or again something leading to it, so much so that one must always begin with analysis, even when one does not intend to stop there, the truth is that one can never actually arrive at synthesis through analysis. All synthesis, in the true sense of the word, is something immediate, so to speak, something that is not preceded by any analysis and is entirely indfependent of it, just as integration is an operation carried out in a single stroke, by no means presupposing the consideration of elements comparable to those of an arithmetical sum; and as this arithmetical sum can yield no means of attaining and exhausting the indefinite, this latter must, in every domain, be one of those things that by their very nature resist analysis and can be known only through synthesis.[3]
[3]Here, and in what follows, it should be understood that we take the terms 'analysis' and 'synthesis' in their true and original sense, and one must indeed take care to distinguish this sense from the completely different and quite improper sense in which one currently speaks of 'mathematical analysis', according to which integration itself, despite its essentially synthetic character, is regarded as playing a part in what one calls 'infinitesimal analysis'; it is for this reason, moreorever, that we prefer to avoid using this last expression, availing ourselves only of those of 'the infinitesimal calculus' and 'the infinitesimal method', which lead to no such equivocation.”
― René Guénon, The Metaphysical Principles of the Infinitesimal Calculus

“[...] et de même la matière ne serait pas divisée « à l’infini » si cette division pouvait jamais s’achever et aboutir à des « derniers éléments » ; et ce n’est pas seulement que nous ne puissions pas parvenir en fait à ces derniers éléments, comme le concède Bernoulli, mais bien qu’ils ne doivent pas exister dans la nature. Il n’y a pas plus d’éléments corporels insécables, ou d’ « atomes » au sens propre du mot, qu’il n’y a, dans l’ordre numérique, de fraction indivisible et qui ne puisse donner naissance à des fractions toujours plus petites, ou qu’il n’y a, dans l’ordre géométrique, d’élément linéaire qui ne puisse se partager en éléments plus petits.”
― René Guénon, The Metaphysical Principles of the Infinitesimal Calculus

“La première de toutes les difficultés auxquelles il donne lieu à cet égard, c’est précisément la conception des quantités négatives comme « moindres que zéro », que Leibnitz rangeait parmi les affirmations qui ne sont que « toleranter verae », mais qui, en réalité, est, comme nous le disions tout à l’heure, entièrement dépourvue de toute signification. « Avancer qu’une quantité négative isolée est moindre que zéro, a dit Carnot, c’est couvrir la science des mathématiques, qui doit être celle de l’évidence, d’un nuage impénétrable, et s’engager dans un labyrinthe de paradoxes tous plus bizarres les uns que les autres ». Sur ce point, nous pouvons nous en tenir à ce jugement, qui n’est pas suspect et n’a certainement rien d’exagéré ; on ne devrait d’ailleurs jamais oublier, dans l’usage qu’on fait de cette notation des nombres négatifs, qu’il ne s’agit là de rien de plus que d’une simple convention.”
― René Guénon, The Metaphysical Principles of the Infinitesimal Calculus

“Be that as it may, Leibnitz was never able to explain the principles of his calculus clearly, and this shows that there was something in it that was beyond him, something that was as it were imposed upon him without his being conscious of it; had he taken this into account, he most certainly would not have engaged in any dispute over ‘priority’ with Newton. Besides, these sorts of disputes are always completely vain, for ideas, insofar as they are true, are not the property of anyone, despite what modern ‘individualism’ might have to say; it is only error that can properly be attributed to human individuals.”
― René Guénon, The Metaphysical Principles of the Infinitesimal Calculus

“Quoi qu’il en soit, Leibnitz ne sut jamais s’expliquer nettement sur les principes de son calcul, et c’est bien ce qui montre qu’il y avait là quelque chose qui le dépassait et qui s’imposait en quelque sorte à lui sans qu’il en eût conscience ; s’il s’en était rendu compte, il ne se serait assurément pas engagé à ce sujet dans une dispute de « priorité » avec Newton, et d’ailleurs ces sortes de disputes sont toujours parfaitement vaines, car les idées, en tant qu’elles sont vraies, ne sauraient être la propriété de personne, en dépit de l’« individualisme » moderne, et il n’y a que l’erreur qui puisse être attribuée proprement aux individus humains.”
― René Guénon, The Metaphysical Principles of the Infinitesimal Calculus

“C’est ici qu’intervient, pour rectifier cette fausse notion, ou plutôt pour la remplacer par une conception vraie des choses (7), l’idée de l’indéfini, qui est précisément l’idée d’un développement de possibilités dont nous ne pouvons atteindre actuellement les limites ; et c’est pourquoi nous regardons comme fondamentale, dans toutes les questions où apparaît le prétendu infini mathématique, la distinction de l’Infini et de l’indéfini. C’est sans doute à cela que répondait, dans l’intention de ses auteurs, la distinction scolastique de l’infinitum absolutum et de l’infinitum secundum quid ; il est certainement fâcheux que Leibnitz, qui pourtant a fait par ailleurs tant d’emprunts à la scolastique, ait négligé ou ignoré celle-ci, car, tout imparfaite que fût la forme sous laquelle elle était exprimée, elle eût pu lui servir à répondre assez facilement à certaines des objections soulevées contre sa méthode.”
― René Guénon, The Metaphysical Principles of the Infinitesimal Calculus

“[...] contrairement à l’opinion courante, d’après laquelle l’analyse serait en quelque sorte préparatoire à la synthèse et conduirait à celle-ci, si bien qu’il faudrait toujours commencer par l’analyse, même quand on n’entend pas s’en tenir là, la vérité est qu’on ne peut jamais parvenir effectivement à la synthèse en partant de l’analyse ; toute synthèse, au vrai sens de ce mot, est pour ainsi dire quelque chose d’immédiat, qui n’est précédé d’aucune analyse et en est entièrement indépendant, comme l’intégration est une opération qui s’effectue d’un seul coup et qui ne présuppose nullement la considération d’éléments comparables à ceux d’une somme arithmétique ; et, comme cette somme arithmétique ne peut donner le moyen d’atteindre et d’épuiser l’indéfini, il est, dans tous les domaines, des choses qui résistent par leur nature même à toute analyse et dont la connaissance n’est possible que par la seule synthèse [1].

[1] Ici et dans ce qui va suivre, il doit être bien entendu que nous prenons les termes « analyse » et « synthèse » dans leur acception véritable et originelle, qu’il faut avoir bien soin de distinguer de celle, toute différente et assez impropre, dans laquelle on parle couramment de l’« analyse mathématique », et suivant laquelle l’intégration elle-même, en dépit de son caractère essentiellement synthétique, est regardée comme faisant partie de ce qu’on appelle l’ « analyse infinitésimale » ; c’est d’ailleurs pour cette raison que nous préférons éviter l’emploi de cette dernière expression, et nous servir seulement de celles de « calcul infinitésimal » et de « méthode infinitésimale », qui du moins ne sauraient prêter à aucune équivoque de ce genre.”
― René Guénon, The Metaphysical Principles of the Infinitesimal Calculus

“[...] Sans entrer encore dans la question de la « composition du continu », on voit donc que le nombre, quelque extension qu’on donne à sa notion, ne lui est jamais parfaitement applicable : cette application revient en somme toujours à remplacer le continu par un discontinu dont les intervalles peuvent être très petits, et même le devenir de plus en plus par une série indéfinie de divisions successives, mais sans jamais pouvoir être supprimés, car, en réalité, il n’y a pas de « derniers éléments » auxquels ces divisions puissent aboutir, une quantité continue, si petite qu’elle soit, demeurant toujours indéfiniment divisible. C’est à ces divisions du continu que répond proprement la considération des nombres fractionnaires ; mais, et c’est là ce qu’il importe particulièrement de remarquer, une fraction, si infime qu’elle soit, est toujours une quantité déterminée, et entre deux fractions, si peu différentes l’une de l’autre qu’on les suppose, il y a toujours un intervalle également déterminé.”
― René Guénon, The Metaphysical Principles of the Infinitesimal Calculus