கோடல், ஏஷர், வடிவங்கள், கணிதம், அழகியல்- கடிதம்

[image error]

பொற்சுழல்

அன்புள்ள ஜெயமோகன் ,

இந்த வாரம் எனக்கு ஒரு முழுமையான வாரம் என்றே தோன்றுகிறது.  நான் முன்னமேயே படித்தவையும், அறிந்தவையும், பங்கேற்றவையும், இழை இழையாக உருவாகி ஒன்றையொன்று தொட்டு பிணைந்து முழுமையாக பெருகிக்கொண்டே வருவதுபோல தோன்றுகிறது.   இதைப்பற்றி சொல்லியேயாகவேண்டும்…. 

முதல் இழை: கடந்தவாரம் உங்களின் தத்துவ வகுப்பு (4 ஆம் அமர்வு) கலந்துகொண்டேன்.  கபிலரின் சாங்கியம் என்ற மாபெரும் தரிசணத்தை சுட்டும் விளக்கும் ஒரு அமர்வு.  ஒரு மனதிறப்பாகத்தான் இருந்தது; இதைப்பற்றி மறுபடி பின்னால் வருகிறேன்… 

இரண்டாம் இழை: நேற்று திரு. லோகமாதேவியின் “பொற்சுழல்” கட்டுரையை படித்தேன்.  எவ்வாறு தாவர பரிணாமங்களில் கணிதம் வெளிப்படுகிறது என்பது பற்றி அவர் எழுதியிருந்த தாவரவியலையும் கணிதத்தையும் இணைத்த கட்டுரை ஓரு அருமையான பதிவு.  அவர் எழுதியவற்றின் மைய கருத்து நான் முன்பே அறிந்ததுதான் – கடந்த ஆறேழு வருடங்களாய் நான் கணிதம் கற்றுக்கொடுப்பதாலும், மேலும், கணிதத்துடன் தொடர்புடைய நிகழ்வுகளையும் முரண்பாடுகளையுமே கணிதம் கற்பிப்பதற்கான ஒரு வழியாகவே கையெடுப்பதாலும்.  [image error]

Golden Ratio/Angle என்ற கருத்துருவை விவாதிப்பவர்கள் பொதுவாக ஃபிபொனாச்சி எண் வரிசையை (Fibonacci Series) விளக்கிவிட்டு, அது வெளிப்படும் மலரின் இதழ், நத்தையின் ஓடு, சூராவளியின் சுழல், அல்லது பால்வழி மண்டலத்தின் அமைப்பு இவற்றை சுட்டிக்காட்டி, ஆகவே இந்த golden ratio/angle-தான் இயற்கையின் விதியை சமைக்கிறது என்கிற, அல்லது இயற்கையையே தீர்மானிக்கிறது என்கிற கோணத்தில் சென்றுவிடுவார்கள்.   என்னைப்பொறுத்தவரை இயற்கையோடு இயைந்த கணிதத்தின் ஒத்திசைவு இயற்கைக்கு காரணமல்ல, இயற்கையை தெளிவுபடுத்தும் காரியம் என்பதே..  பொற்சுழல் கட்டுரையில் திரு. லோகமாதேவி “சூரியகாந்தியில் ஒவ்வொரு விதையும் ஒன்றுடன் ஒன்று உரசிக்கொள்ளாமல் ஒவ்வொரு விதையும் சரியாக வளர்வதற்கு இடம் அமைந்து, அனைத்து விதைகளுக்கும் சூரிய ஒளி சீராகக் கிடைக்கும் படியும், …. மலருக்கு வலிமை அளிக்கவும்….” என்று காரண விளக்கங்களுடன் சென்றிருந்தார்.  இயற்கை தன்னை உயிர்களின் இயல்புகளாலும், பொருட்களின் தன்மைகளாலும், அதனினும் முக்கியமாக இயற்பியல் / வேதியல் விதிகளாலும் விரித்துக்கொண்டே செல்கிறது.  அதை நாம் அனுகுவதற்கு புரிந்துகொள்ளுவதற்கு ஆய்வதற்கு நமக்கிருக்கும் ஒரு மிகப்பெரிய அறிவுக்கருவி – கணிதம்.  இயற்கையின் நிகழ்வுகளை புரிந்துகொள்ள ஒரு அறிவியல் கருத்துரு எவ்வாறு மொழியினூடாக வெளிப்படுகின்றதோ, அதேபோல் அந்த இயற்கை நிகழ்வின் ஒழுங்கமைவு  ஒரு கச்சிதமான கணித சூத்திரமாக வெளிப்படுகிறது.  அவ்வளவே! அவ்வளவே என்று சொல்லுவது “அதில் ஒன்றுமில்லை” என்ற அர்த்ததில் இல்லை..  தன்னளவில் கருத்துரு அல்லது சூத்திரம் மட்டுமே என்றாலும், இத்தகைய “அவ்வளவேயான” கருத்துருக்களும் சூத்திரங்களும்தான் நம்முடைய புறவய  பார்வையையே முழுமையாக வடிவமைக்கும் ஆடியாக,  புறவய பிரபஞ்சத்தையே மனதில் மொத்தமாக உருவாகித்தரும் அறிவாக தங்களையே நிறுவிக்கொள்ளுகின்றன என்ற அர்த்தத்தில் தான்…. இந்த விதத்தில், “இவை அவ்வளவே” அல்ல; “இவைதான் அவ்வளவுமே” என்றுகூட எடுத்துக்கொள்ளலாம்.

மூன்றாம் இழை: இதற்கான பதிலாக நீங்கள் எழுதிய பதிவில் Gödel Escher Bach : The Eternal Golden Braid புத்தகத்தைப்பற்றி எழுதியிருந்தீரகள். இது என் நினைவுகளை பல ஆண்டுகளுக்குப்பின்னே இழுத்துச்சென்றுவிட்டது.  அது நான் கணினிஅறிவியல் படிக்கும்போது வாங்கிய முதல் புத்தகம். அந்த புத்தகத்தின்மேல் பெரிய தாக்கத்தை உருவாக்கியவர் ஆன் யாசுஹாரா என்ற என் கணித பேராசிரியர்; இவர் பாடங்களை ஒப்பிப்பது இல்லை; நமக்குள் திணிப்பது இல்லை; ஏன், பாட புத்தகத்தை பிரிப்பது கூட இல்லை. ஏதாவது ஒரு கணித கருத்தை எடுத்துக்கொண்டு அக்கு வேறு ஆணி வேறாக பிரித்து நம்மை அதற்குள் விட்டு விடுவார்; அதிலிருந்து ஒவ்வொருவரும் ஒரு பகுதியை எடுத்துக்கொண்டு யோசித்து விடை தேடி விவாதிக்க வேண்டும். கடைசியில் அவர் எந்த புத்தகத்தையும் முழுதாக வகுப்புகளில் முடித்ததே இல்லை; ஆனால் எந்த புத்தகத்தையும் அனுகவும் படிக்கவும் புரிந்துகொள்ளவும் வழிகாட்டிவிட்டார்.  

அந்த செமஸ்டெர் அவர் எடுத்த ஒரு தலைப்பு/கருத்துரு  – சுய–மறு–நிகழ்வு (recursion) என்பதைப்பற்றி…  அதாவது, ஒரு கணினி செயல்பாடு (computing function) தன்னையே தனக்குள்ளேயே மறுபடி குறிப்பிட்டுக்கொள்வதை (\self-refer) அல்லது நிகழ்த்திக்கொள்ளவதை (self-execute) பற்றி.  இது கணிதத்திலும் கணினி அறிவியல் தொழில் நுட்பத்திலும் எல்லோருக்கும் தெரிந்த, எல்லோரும் பயன்படுத்திக்கொள்ளும் ரீகர்ஷன் ஃபங்ஷன் (recursive function) என்ற பொதுவான ஒரு விஷயம்தான்.  ஆனால், இதை அவர் ஒரு கருத்துருவாக எடுத்துக்கொண்டு, அவர் சுயமறுநிகழ்வு நடக்கும் மற்ற அமைப்புகளைப்பற்றி பேச ஆரம்பித்தார்.  கணினி அறிவியலிலிருந்து அது இயற்கை (நதியின் வழிகள், கடற்கரை  அமைப்பு), இயல்பியல் (பால்வெளி மண்டல அமைப்பு), உயிரியல் (மரம்/கிளை அமைப்புகள்), வேதியல் (பனி படிகங்கள் அமைப்பு) என விரிந்துகொண்டே இருந்தது.  திரு லோகமாதேவி விவரித்திருந்த சூரியகாந்தி மலர், ரொமெனெஸ்கோ பூக்கோஸ், எல்லாமே….   இதற்கெல்லாம் அடிப்படையாக இருப்பது சுயமறுநிகழ்வும், மற்றும் பின்ன வடிவவியல் (Fractal Geometry) கணிதத்தில் சொல்லப்படும் சுயமறுநிகழ்வு கருத்துக்களும் சூத்திரங்களும்.

அந்த வாரம் முழுவதும் ஆன் வகுப்பிலும் உரையாடல்களிலும் எங்களுக்கு காண்பித்தது M C எஸ்சர் வரைந்த பல ஓவியங்களையே.  அவரது ஒவ்வொரு படத்திலும் சுயமறுநிகழ்வு – நேரடியாகவோ அல்லது ஊடுருவியோ – எப்படி நடக்கிறது என்று விவாதித்துக்கொண்டிருந்தோம். என் பங்கிற்கு சுயமறுநிகழ்வுக்கு நான் கொண்டு சென்றது ஒன்றுக்குள் ஒன்றாக ஊடுறுவிச்செல்லும் தமிழ் விக்கிரமாதித்தன் கதைகளை (ஆயிரத்தோரு அரேபிய இரவுக்கதைகளும் இந்த வகையை சார்ந்தவையே).  ஆனாலும் எஸ்சர் ஓவியங்களின் நேரடித்தன்மை எப்போதும் மறக்க முடியாத ஒரு தெளிவை அளிக்கின்றன.  ஓவியம் ஒரு பொருளை விளக்குவதற்காக அல்லாது, அதை நேரடியாக உணரவைக்கும் படைப்பு. 

ஃபிபொனாச்சி எண் வரிசை சுயமறுநிகழ்வுகளாலான இயற்கையின் தோற்றங்களை புரியவைக்கும் கருத்துரு அல்லது சூதிரம் என்றால், எஸ்சரின் ஓவியங்கள் அந்த நிகழ்வை நேரடியாக உணரவைக்கும் பிம்பங்கள்.  அதன் அழகில் ஒழுங்கில் ஒன்றித்தான்  இந்த புத்தகத்தை வாங்கி படித்தேன்.   இதே போலத்தான் இசையும் நேரடியாக உணரக்கூடியது என்று இப்போது தெரிகிறது…. ஒரு ராகத்தை மீண்டும் மீண்டும் ஆலாபனையாக நிகழ்த்தி விரிவாகவும் செறிவாகவும் முழுதாகவும் (அதே சமயத்தில் எப்போதும் முடிவிலியாகவும்) ஆக்குவதைப்போல. 

நான்காம் இழை: ஆனால் ஹாஃப்ஸ்ட்ரேட்டரின் அந்த புத்தகம் அதர்க்கெல்லாம் ரொம்ப மேலே….  அது படித்து புரிவதற்கு பல வருடங்கள் ஆயின.  அவர் கருவாக இந்த புத்தகத்தில் எடுத்துக்கொண்டது [இப்போதைய] கணிதத்தின் எல்லையையே வரையறுத்த கர்ட் கோடல் (Kurt Gödel) என்ற ஆஸ்திரிய கணித மேதையின் முழுமையின்மை தேற்றத்தை (Incompleteness Theorem) நிறுவுவதையே…. இந்த தேற்றம், எண்கணிதத்தின் (Number Theory) அடிப்படை கோட்பாடுகளும் (Axioms), கணித தர்க்கமும் (Mathematical Logic) எவ்வளவுதான் முயன்றாலும் நிறுவப்படமுடியாத உண்மையான தேற்றங்கள் எண் கணிதத்தில் உள்ளன என்று நிறுவுகிறது.  அது சொல்லுவது “இப்போது நிறுவப்படாத தேற்றங்கள்” என்றல்ல…. “எப்போதும் யாராலும் நிறுவப்படவே முடியாத தேற்றங்கள்” என்றே!  அதுவரை கணிதத்தால் நிறுவமுடியாத கணித தேற்றங்கள் இருக்கமுடியும் என்றே எவரும் எண்ணவில்லை.  இப்போது தெரியாமல் இருக்கலாம்; நூற்றாண்டுகளோ ஆயிரம் ஆண்டுகளோகூட ஆகலாம்; ஆனால் என்றைக்காவது யாராலேயோ எந்த ஒரு உண்மை தேற்றத்தையும் நிறுவமுடியும் என்றே எண்ணியிருந்தார்கள்.  கோடலின் இந்த தேற்றம் கிட்டத்தட்ட கணிதத்தின் முடிவையே மாற்றி எழுதிவிட்டது.  கணிதத்தையே, இரண்டாகப்பிரித்து 1931-க்குமுன்னென்றும் 1931-க்குப்பின்னென்றும் சொல்லிவிடலாம் போல….

இந்த தேற்றத்தைத்தான் அடிப்படை தர்க்கத்தையும் பொதுவாக புரிந்துகொள்ளக்கூடிய  உருவகங்களையும் உவமைகளையும் கொண்டு ஹாஃப்ஸ்ட்ரேட்டர்  இந்த புத்தகத்தில் விவாதிக்கிறார், விளக்குகிறார் (கோடலின் வாதங்கள் வழியே).  கோடலின் மேதைத்தனமே கணிதத்தின் காரணமான அடித்தளத்தையே கேள்வி கேட்கும் சிந்தனையும், தன்னைத்தானே சுட்டும் ஒரு முரண்பாடான தேற்றத்தை உருவாக்கி, கணிதத்தின் வழிகளிலேயே அதை நிறுவி, பின்னர் அதன் காரியமாக அந்த கணிதத்தின் எல்லையையே வரையறுத்ததுதான் .  இந்த ஆய்வின் மையச்சுழி சுயமறுநிகழ்வு என்னும் நம் பழைய கருத்துருவே!  அந்த 800-பக்க புத்தகமும் சுயமறுநிகழ்வு பற்றியும், அதை கோடல் எவ்வாறு தன் தேற்றத்தை நிறுவ கையாண்டார் என்பதும்தான். 

Kurt Gödel

ஐந்தாம் இழை: சரி, கோடலும் கணிதமும் அதன் எல்லைகளும் அதன்படி இருக்கட்டும்.  ஆனால், இந்த புத்தகத்தில், ஹாஃப்ஸ்ட்ரேட்டர்  சுயமறுநிகழ்வு எப்படி M C எஷ்சர் ஓவியங்களிலும், பாஃக் இசையிலும், இயற்கையிலும் மீள மீள வருகிறது என்பதை, பல பல உதாரணங்களின் வழியே காட்டுகிறார்.  இந்த சுயமறுநிகழ்ச்சிக்கு  அவர் வைத்த பெயர் – விசித்திர சுழல்கள் (strange loops).  இந்த விசித்திர சுழல்கள் என்ற கருத்துரு மூலமே, அவர் கோடல் தேற்றத்தை (கோடலை பின்பற்றி) நிறுவுகிறார். 

கோடலின் தேற்றத்துக்கு பிறகு, அவர் இன்னொரு வெகு வெகு முக்கிய கருத்தை அலசுகிறார்…  ஒரு இயந்திரத்தனமான ஆனால் விதிகளுக்குட்பட்ட ஒழுங்காக அமைப்பு அல்லது ஒருங்கியம் (very orderly symbolic/material system) ஒன்றை எடுத்துக்கொள்ளுவோம்.  உதாரணமாக, எண்களும் அதன் கணித விதிகளுமோ, விண்வெளியில் பரந்திருக்கும் தூசி மேகங்களும் இயற்பியல் விதிகளுமோ,  ஒரு குடுவையிலிருக்கும் ரசாயன கலவையும் வேதியல் விதிகளுமோ, இவை எல்லாமே ஒருங்கியங்களே. நாம் “அவ்வளவே” என்று நினைக்கும் இப்படிப்பட்ட ஒரு அமைப்பில், “தான்” என்ற ஒரு  கருத்து  தானாகவே எழ/நிகழ முடியுமா என்ற ஒரு கேள்வியை முன்வைக்கிறார்.  இது அசாதாரண கோப்பர்நிக்கன் கேள்வி!  இதற்கு, ஹாஃப்ஸ்ட்ரேட்டர் , ஆம் அப்படிப்பட்ட ஒரு சாத்தியம் இருக்கிறது என்றும், அதன் அடிப்படை காரணம் இந்த ஒருங்கியத்தில் தோன்றும் விசித்திர சுழல்களே என்றும் திரும்ப திரும்ப வாதிடுகிறார்.  ஒரு ஒருங்கியத்தின் பொருள்/விதிகள் ஒருங்கியத்திற்கு வெளியேயான உலகத்தை தனக்குள்ளே உருவாகும் வடிவங்களால் (patterns) பிரதிபலிக்க முடியும் என்றும், அதனால் அத்தகைய வடிவங்கள் மூலம் தன்னையே அது  உருவகித்துக்கொள்ளுவது முழுதும் சாத்தியம் மட்டுமல்ல, நடந்தே தீரும் என்றும் வாதிக்கிறார். இந்த வாதம் சுலபமாகவோ முழுதாகவோ நிராகரிக்கப்படக்கூடியது அல்ல.  [இதையும் சொல்லியே ஆகவேண்டும்: இவர் “தான்” என்று சொல்லுவது ஒரு கருத்தா அல்லது உணர்வா என்பது பற்றி அதிகம் பேசவில்லை.   இவர் சொல்லும் இந்த வடிவங்களையும் உணர்வது வேறு ஒன்றாகக்கூட  இருக்கலாம்தான்.]  “நான்” என்ற கருத்து அகம் இல்லாத புறவய உலகத்திலேயே நிகழ முடியும் என்றால்கூட, இது ஒரு கோப்பர்நிக்கன் திருப்பமே.

ஆறாம் (சரி, மீண்டும் முதலாம்) இழை: கடந்த தத்துவ வகுப்பு சாங்கிய தரிசனம் பற்றியது.  ஒரு அருமையான அறிமுகத்துடனும், மற்ற சில தரிசனங்களுடனான ஒப்பிடுதல்களுடனும் விவாதங்களுடனும்.  ஆசிரியருடனும் மற்றவர்களுடனும் ஒரு நல்ல நட்புகளும் கூட.  கடைசி நாளில் ஒரு நண்பர் கேட்டார்: நீங்கள் சாங்கியமா அல்லது அத்வைதமா என்று.  அவர் நான் கலந்துகொண்ட விவாத குழுக்களைப்பற்றிகேட்டார் என்றெண்ணி முதல் நாள்  சாங்கியம், அடுத்தநாள் அத்வைதம் என்றேன்.  அவர் கேட்டது அதுவல்ல என்று உடனேயே புரிந்தது.  அது மேலும் விவாதமாக ஆகாவிட்டாலும், இந்திய தத்துவங்களை ஆழமாக புரிந்துகொள்ளாமல் இதைப்பற்றி எந்த முடிவும் எடுக்கமுடியாது என்ற போதிலும், சாங்கியத்தின் மீது எனக்கு ஏற்படும் ஒரு முழுஈர்ப்பை மறுக்கமுடியவில்லை.  அவர் கேட்ட கேள்வியையே திரும்பிவரும் பயணத்திலும் மேலும் சில நாட்களும்  நினைத்துக்கொண்டிருந்தேன். 

அன்று வகுப்பில் எனக்கு தோன்றியது இது: நிரீஸ்வர சாங்கியம், மூலப்பிரகிருதி என்ற இயற்கையை மட்டுமே சார்ந்த ஒரு தூய தரிசனத்தை முன்வைத்திருக்கிறது.  அந்த தரிசனம் பின்னர் புருஷன் என்ற கருத்துரு கலந்தபிறகு வெகுசிக்கலாகிவிட்டதோ என்றே தோன்றியது.  ஆனாலும், ஒரு பொருளில் தோன்றும் தன்னுணர்வை பொருட்களின் மூலமாகவே விளக்க வழியில்லாதால் அனுபவிக்கும் தன்னிலையாக புருஷனென்ற கருத்துருவை சேர்ப்பதை மறுக்கமுடியவில்லை.  அதை அன்று அப்படியே விட்டுவிட்டேன். 

ஆனால், இன்று என்னையே இப்படி கேட்டுக்கொள்ளுகிறேன்: இயற்கை ஒரு ஒருங்கியம்.  சாங்கியம், இப்படிப்பட்ட இயற்கையான  ஒருங்கியம் பருப்பொருளின் சீரான விதிகளால் தன் இயல்பின் வழியான நடந்துகொண்டிருக்கிறது என்றே சொல்லுகிறது. இப்படி ஒரு ஒருங்கியத்தில் தன்னுணர்வு பருப்பொருட்களின் இயல்பினால் மட்டுமே உருவாவதற்க்கு சாத்தியங்கள் உண்டு என்றே ஹாஃப்ஸ்ட்ரேட்டர்  சொல்லுகிறார்.  பருப்பொருளே இல்லாத, சீரான கருத்துருக்களாலேயேயான கணிதத்திலேயே  இது ஆகுமென்றால், பருப்பொருட்கள்  நிறைந்த வெகு சீராக விதிகள் கூடிய பிரபஞ்சத்தில் தன்னுணர்வு தானாகவே – பொருளின் இயல்பாக –ஏற்படுவது சாத்தியம்தானே?  அப்படியென்றால், அனுபவிக்கும் தன்னிலையாக புருஷன் என்ற கருத்துருவே தேவையா?  இந்த இரு நாட்களாக (மேலிருக்கும் இழைகளின் வழியாக) இதையே எண்ணிக்கொண்டு இருக்கிறேன்….  இதைப்பற்றி நீங்கள் என்ன நினைக்கிறீர்கள்?  மற்ற இந்திய தத்துவங்களைப்பற்றி (குறிப்பாக, அத்வைத்த வேதாந்தம்) ஒரு ஆழமான புரிதல் வரும்வரை காத்திருக்க வேண்டியது தேவை என்று உணர்கிறேன்; காத்திருக்கவும் தயார்தான்.  இப்போதைக்கு எனக்கு இது நிச்சயமாக ஒரு திறந்த கேள்விதான்… 

திரு லோகமாதேவியின் பதிவையும், உங்கள் மறுமொழியையும் அதனால் எழுப்பப்பட்ட எண்ணங்களினாலும் இதையும் பதிவு செய்ய வேண்டும் என்று தோன்றியது.  இவையெல்லாம் – ஜேயமோகன்  – உங்களின் எழுத்துக்களாலும், வலை பதிவுகளாலும், வகுப்புக்களாலும் ஒன்றுதிரண்டு வருவது ; உங்களுக்கு என் நன்றி.    

குமரன் 

a.kumaran@gmail.com