A Mathematician's Apology Quotes

“Τι «καθαρά αισθητικά» ποιοτικά χαρακτηριστικά μπορούμε να διακρίνουμε σε θεωρήματα παρόμοια με του Ευκλείδη και του Πυθαγόρα; Δεν θα διακινδυνέψω τίποτα περισσότερο από μερικές σκόπιες παρατηρήσεις.
Και στα δύο θεωρήματα (και σ' αυτά φυσικά περιλαμβάνω και τις αποδείξεις) υπάρχει ένας πολύ υψηλός βαθμός απροσδόκητου σε συνδυασμό με στοιχεία αναπόφευκτου και εξοικονόμησης. Η επιχειρηματολογία τους παίρνει μια παράξενη και εκπλητική μορφή: τα όπλα που χρησιμοποιούνται φαίνονται εντελώς παιδικά εν συγκρίσει με τα αποτελέσματα που είναι μεγάλου βεληνεκούς. Αλλά δεν υπάρχει τρόπος διαφυγής από τα συμπεράσματα. Δεν υπάρχουν επιπλοκές εξ αιτίας λεπτομερειών - μια γραμμή επίθεσης είναι αρκετή σε κάθε περίπτωση. Και αυτό ισχύει επίσης για τις αποδείξεις πολύ πιο δύσκολων θεωρημάτων, που για να εκτιμηθούν πλήρως απαιτείται ένας αρκετά υψηλός βαθμός επαγγελματικής ικανότητας στην πράξη. Δεν θέλουν πολλές «διακυμάνσεις» στην απόδειξη ενός μαθηματικού θεωρήματος: η «απαρίθμηση περιπτώσεων» είναι, πραγματικά, μια από τις πιο πληκτικές μορφές μαθηματικής επιχειρηματολίας. Μια μαθηματική απόδειξη πρέπει να μοιάζει με έναν απλό και ευδιάκριτο αστερισμό και όχι με ένα νεφέλωμα σκορπισμένο στον Γαλαξία μας.”
― G.H. Hardy, A Mathematician's Apology

“Φαίνεται ότι οι μαθηματικές ιδέες είναι κατά κάποιο τρόπο διατεταγμένες κατά στρώματα, με τις ιδέες σε κάθε στρώμα συνδεδεμένες μέσω ενός πλέγματος σχέσεων τόσο μεταξύ τους όσο και με αυτές που βρίσκονται από κάτω και από πάνω τους. Όσο πιο χαμηλό είναι το στρώμα, τόσο πιο βαθειά (και εν γένει δυσκολότερη) είναι η ιδέα. Έτσι, η ιδέα του «άρρητου» είναι βαθύτερη από εκείνη του ακεραίου, και το Θεώρημα του Πυθαγόρα είναι γι' αυτό το λόγο βαθύτερο από εκείνο του Ευκλείδη.
Ας συγκεντρώσουμε την προσοχή μας πάνω στις σχέσεις μεταξύ των ακεραίων, ή κάποιας άλλης ομάδας αντικειμένων που ανήκουν σε κάποιο συγκεκριμένο στρώμα. Μ' αυτόν τον τρόπο, μια από αυτές τις σχέσεις μπορεί ενδεχομένως να κατανοηθεί πλήρως: επί παραδείγματι, να αναγνωρίσουμε και να αποδείξουμε μια ιδιότητα των ακεραίων χωρίς καμμία γνώση του περιεχομένου των πιο κάτω στρωμάτων. Έτσι αποδείξαμε το θεώρημα του Ευκλείδη θεωρώντας μόνο ιδιότητες των ακεραίων. Αλλά υπάρχουν επίσης πολλά θεωρήματα για τους ακεραίους που δεν μπορούμε να εκτιμήσουμε όσο πρέπει - και ακόμη λιγότερο να αποδείξουμε - χωρίς να σκάψουμε βαθύτερα και χωρίς να εξετάσουμε τι συμβαίνει πιο κάτω.
Εύκολα βρίσκουμε τέτοια παραδείγματα στη θεωρία των πρώτων αριθμών. Το θεώρημα του Ευκλείδη είναι πολύ σημαντικό, αλλά όχι πολύ βαθύ: μπορούμε να αποδείξουμε ότι υπάρχουν άπειροι πρώτοι, χωρίς να χρησιμοποιήσουμε κάποια έννοια βαθύτερη από εκείνη της «διαιρετότητας». Αλλά μόλις μάθουμε την απάντηση στο ερώτημα αυτό για το πλήθος των πρώτων, νέα ερωτήματα γεννώνται αμέσως από μόνα τους. Υπάρχουν άπειροι πρώτοι, αλλά πώς κατανέμονται αυτοί οι άπειροι αριθμοί;
Αν δοθεί ένας μεγάλος αριθμός Ν, ας πούμε ο 10^80 ή ο 10^10^10, πόσοι περίπου πρώτοι είναι μικρότεροι από Ν; Όταν κάνουμε αυτές τις ερωτήσεις βρίσκουμε τους εαυτούς μας σε μια αρκετά διαφορετική θέση. Μπορούμε να τις απαντήσουμε, με εκπληκτική μάλλον ακρίβεια, αλλά μόνο μετά από «διάτρηση» σε πολύ μεγάλο βάθος, αφήνοντας για λίγο πάνω από εμάς τους ακεραίους, και χρησιμοποιώντας τα πιο ισχυρά όπλα της σύγχρονης Θεωρίας Συναρτήσεων. Έτσι, το θεώρημα που απαντά στις ερωτήσεις μας (το αποκαλούμενο «Θεώρημα των Πρώτων Αριθμών») είναι πολύ πιο βαθύ από εκείνο του Ευκλείδη ή ακόμη και του Πυθαγόρα.”
― G.H. Hardy, A Mathematician's Apology

“Το θεώρημα του Ευκλείδη είναι ζωτικής σημασίας για όλη την δομή της Αριθμητικής. Οι πρώτοι αριθμοί είναι το αρχικό υλικό με το οποίο έχουμε οικοδομήσει την αριθμητική, και το θεώρημα του Ευκλείδη μας εξασφαλίζει ότι έχουμε άφθονο υλικό γι' αυτό το σκοπό.[...] Το Θεώρημα του Ευκλείδη μας λέει ότι έχουμε ένα ικανό απόθεμα υλικού για την κατασκευή μιας συγκροτημένης αριθμητικής των ακεραίων αριθμών. Το Θεώρημα του Πυθαγόρα και οι επεκτάσεις του μας λένε ότι, άπαξ και κατασκευάσθηκε αυτή η αριθμητική, δεν θα αποδειχτεί αρκετή για τις ανάγκες μας, αφού υπάρχουν πολλά μεγέθη τα οποία μας επιβάλλουν την παρουσία τους και τα οποία αυτή η αριθμητική είναι ανήμπορη να μετρήσει: η διαγώνιος του τετραγώνου είναι απλώς το πιο προφανές παράδειγμα. Η μεγάλη σπουδαιότητα αυτής της ανακάλυψης αναγνωρίστηκε αμέσως από τους Έλληνες μαθηματικούς. Είχαν ξεκινήσε με την υπόθεση ότι (σε συμφωνία, υποθέτω, με τις «φυσικές» επιταγές της «κοινής λογικής») όλα τα μεγέθη του ίδιου είδους είναι σύμμετρα (ότι για παράδειγμα, δύο οποιαδήποτε μήκη είναι πολλαπλάσια κάποιας κοινής μονάδας μήκους), και είχαν κατασκευάσει μια θεωρία αναλογιών στηριγμένη σ' αυτή την υπόθεση. Η ανακάλυψη του Πυθαγόρα κατέδειξε το μη στέρεο της θεμελίωσης αυτής και οδήγησε στην κατασκευή της πολύ βαθύτερης θεωρίας του Ευδόξου που εκτίθεται στο πέμπτο βιβλίο των Στοιχείων και που θεωρείται από πολλούς σύγχρονους μαθηματικούς ως το εξέχον επίτευγμα των ελληνικών Μαθηματικών.”
― G.H. Hardy, A Mathematician's Apology

“Η εις άτοπον απαγωγή, που ο Ευκλείδης αγαπούσε τόσο πολύ, είναι ένα από τα ωραιότερα όπλα του μαθηματικού. Είναι πιο όμορφο από οποιοδήποτε σκακιστικό γκαμπί. Ένας σκακιστής μπορεί να θυσιάσει ένα πιόνι, ή ακόμη και ένα κομμάτι, αλλά ο μαθηματικός προσφέρει το ίδιο το παιγνίδι.”
― G.H. Hardy, A Mathematician's Apology

“Θα υποθέσω ότι γράφω για αναγνώστες που είναι έμπλεοι, ή ήσαν τέτοιοι κατά το παρελθόν, ενός ορθού πνεύματος φιλοδοξίας. Το πρώτο καθήκον ενός ανθρώπου, και προπάντων ενός νέου, είναι να είναι φιλόδοξος. Η φιλοδοξία είναι ένα ευγενές πάθος το οποίο μπορεί να πάρει πολλές νόμιμες μορφές. Υπήρχε _κάτι_ το ευγενές στη φιλοδοξία του Αττίλα ή του Ναπολέοντα: η ευγενέστερη φιλοδοξία όμως, είναι να αφήνει κανείς πίσω του κάτι με διαχρονική αξία.

Εδώ στην επίπεδη αμμουδιά,
ανάμεσα σε ξηρά και θάλασσα,
τι θα κτίσω ή τι θα γράψω
ενάντια στη νύχτα που πέφτει;

Πες μου να χαράξω μαγικά σύμβολα
να κρατούν το κύμα που σκάει
ή να φτιάξω οχυρά
που θα ζήσουν πιο πολύ από μένα.”
― G.H. Hardy, A Mathematician's Apology

“Οι νέοι οφείλουν να είναι επηρμένοι, αλλά οφείλουν και να μην είναι ανόητοι.”
― G.H. Hardy, A Mathematician's Apology