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Incompleteness: The Proof and Paradox of Kurt Gödel
"A gem…An unforgettable account of one of the great moments in the history of human thought." —Steven Pinker
Probing the life and work of Kurt Gödel, Incompleteness indelibly portrays the tortured genius whose vision rocked the stability of mathematical reasoning—and brought him to the edge of madness.
Probing the life and work of Kurt Gödel, Incompleteness indelibly portrays the tortured genius whose vision rocked the stability of mathematical reasoning—and brought him to the edge of madness.
300 pages, Paperback
First published January 1, 2005
About the author
Rebecca Goldstein
22 books425 followersRebecca Newberger Goldstein grew up in White Plains, New York, and graduated summa cum laude from Barnard College, receiving the Montague Prize for Excellence in Philosophy, and immediately went on to graduate work at Princeton University, receiving her Ph.D. in philosophy. While in graduate school she was awarded a National Science Foundation Fellowship and a Whiting Foundation Fellowship.
After earning her Ph.D. she returned to her alma mater, where she taught courses in philosophy of science, philosophy of mind, philosophy of psychology, the rationalists, the empiricists, and the ancient Greeks. It was some time during her tenure at Barnard that, quite to her own surprise, she used a summer vacation to write her first novel, The Mind-Body Problem. As she described it,
"To me the process is still mysterious. I had just come through a very emotional time, having not only become a mother but having also lost my father, whom I adored. In the course of grieving for my father and glorying in my daughter, I found that the very formal, very precise questions I had been trained to analyze weren’t gripping me the way they once had. Suddenly, I was asking the most `unprofessional’ sorts of questions (I would have snickered at them as a graduate student), such as how does all this philosophy I’ve studied help me to deal with the brute contingencies of life? How does it relate to life as it’s really lived? I wanted to confront such questions in my writing, and I wanted to confront them in a way that would insert `real life’ intimately into the intellectual struggle. In short I wanted to write a philosophically motivated novel."
The Mind-Body Problem was published by Random House and went on to become a critical and popular success.
More novels followed: The Late-Summer Passion of a Woman of Mind; The Dark Sister, which received the Whiting Writer’s Award, Mazel, which received the 1995 National Jewish Book Award and the 1995 Edward Lewis Wallant Award; and Properties of Light: A Novel of Love, Betrayal, and Quantum Physics. Her book of short stories, Strange Attractors, received a National Jewish Book Honor Award. Her 2005 book Incompleteness: The Proof and Paradox of Kurt Gödel, was featured in articles in The New Yorker and The New York Times, received numerous favorable reviews, and was named one of the best books of the year by Discover magazine, the Chicago Tribune, and the New York Sun. Goldstein’s most recent published book is, Betraying Spinoza: The Renegade Jew who Gave Us Modernity, published in May 2006, and winner of the 2006 Koret International Jewish Book Award in Jewish Thought. Her new novel, Thirty-Six Arguments for the Existence of God: A Work of Fiction, will be published by Pantheon Books.
In 1996 Goldstein became a MacArthur Fellow, receiving the prize which is popularly known as the “Genius Award.” In awarding her the prize, the MacArthur Foundation described her work in the following words:
"Rebecca Goldstein is a writer whose novels and short stories dramatize the concerns of philosophy without sacrificing the demands of imaginative storytelling. Her books tell a compelling story as they describe with wit, compassion and originality the interaction of mind and heart. In her fiction her characters confront problems of faith: religious faith and faith in an ability to comprehend the mysteries of the physical world as complementary to moral and emotional states of being. Goldstein’s writings emerge as brilliant arguments for the belief that fiction in our time may be the best vehicle for involving readers in questions of morality and existence."
Goldstein is married to linguist and author Steven Pinker. She lives in Boston and in Truro, Massachusetts.
After earning her Ph.D. she returned to her alma mater, where she taught courses in philosophy of science, philosophy of mind, philosophy of psychology, the rationalists, the empiricists, and the ancient Greeks. It was some time during her tenure at Barnard that, quite to her own surprise, she used a summer vacation to write her first novel, The Mind-Body Problem. As she described it,
"To me the process is still mysterious. I had just come through a very emotional time, having not only become a mother but having also lost my father, whom I adored. In the course of grieving for my father and glorying in my daughter, I found that the very formal, very precise questions I had been trained to analyze weren’t gripping me the way they once had. Suddenly, I was asking the most `unprofessional’ sorts of questions (I would have snickered at them as a graduate student), such as how does all this philosophy I’ve studied help me to deal with the brute contingencies of life? How does it relate to life as it’s really lived? I wanted to confront such questions in my writing, and I wanted to confront them in a way that would insert `real life’ intimately into the intellectual struggle. In short I wanted to write a philosophically motivated novel."
The Mind-Body Problem was published by Random House and went on to become a critical and popular success.
More novels followed: The Late-Summer Passion of a Woman of Mind; The Dark Sister, which received the Whiting Writer’s Award, Mazel, which received the 1995 National Jewish Book Award and the 1995 Edward Lewis Wallant Award; and Properties of Light: A Novel of Love, Betrayal, and Quantum Physics. Her book of short stories, Strange Attractors, received a National Jewish Book Honor Award. Her 2005 book Incompleteness: The Proof and Paradox of Kurt Gödel, was featured in articles in The New Yorker and The New York Times, received numerous favorable reviews, and was named one of the best books of the year by Discover magazine, the Chicago Tribune, and the New York Sun. Goldstein’s most recent published book is, Betraying Spinoza: The Renegade Jew who Gave Us Modernity, published in May 2006, and winner of the 2006 Koret International Jewish Book Award in Jewish Thought. Her new novel, Thirty-Six Arguments for the Existence of God: A Work of Fiction, will be published by Pantheon Books.
In 1996 Goldstein became a MacArthur Fellow, receiving the prize which is popularly known as the “Genius Award.” In awarding her the prize, the MacArthur Foundation described her work in the following words:
"Rebecca Goldstein is a writer whose novels and short stories dramatize the concerns of philosophy without sacrificing the demands of imaginative storytelling. Her books tell a compelling story as they describe with wit, compassion and originality the interaction of mind and heart. In her fiction her characters confront problems of faith: religious faith and faith in an ability to comprehend the mysteries of the physical world as complementary to moral and emotional states of being. Goldstein’s writings emerge as brilliant arguments for the belief that fiction in our time may be the best vehicle for involving readers in questions of morality and existence."
Goldstein is married to linguist and author Steven Pinker. She lives in Boston and in Truro, Massachusetts.
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August 14, 2024
Il libro racconta la vita di Gödel. Parla dell’amicizia con Einstein e della visione contrastante di Gödel rispetto a quelle di Wittgenstein. Infatti, c'è un'incompatibilità logica tra le idee di Wittgenstein sui fondamenti della matematica (sia del primo Wittgenstein simil-positivista sia del tardo Wittgenstein simil-postmodernista) e i teoremi di incompletezza di Gödel.
L’autrice introduce i concetti fondamentali della logica: “Per un platonista, la verità matematica è dello stesso tipo di quello predominante nei regni minori. Una proposizione p è vera se e solo se p. "Babbo Natale esiste" è vero se e solo se Babbo Natale esiste. "Ogni numero pari maggiore di 2 è la somma di due numeri primi" è vero se e solo se non c'è un numero pari più grande di 2 che non è la somma di due numeri primi (anche se non potremo mai dimostrarlo)”. Spiega poi il fondamentale concetto di autoreferenzialità attraverso l’esempio: “"Questa frase è falsa" … Finiamo nei guai perché alcuni elementi linguistici parlano di sé, almeno potenzialmente, e in conseguenza di questa autoreferenzialità finiamo per affermare che una frase è vera e anche falsa, il che è logicamente impossibile per qualcosa che esiste. Il paradosso di Russell riguarda l'insieme di tutti gli insiemi che non sono elementi di se stessi.”
Nella logica l’intuizione non serve: “Un sistema formale è un sistema spogliato completamente dal ricorso all'intuizione.”
Una parte del libro spiega i due teoremi di incompletezza in termini semplici: “Gödel … dimostra che ci sono proposizioni aritmetiche vere che non sono dimostrabili. Una delle cose più strane è che la dimostrazione coinvolge la struttura del paradosso autoreferenziale, quell'abominio della ragione, e la riplasma per i propri fini. La strategia generale della dimostrazione - la parte facilmente accessibile della dimostrazione - può essere afferrata nel contesto del più vecchio paradosso conosciuto, il paradosso del mentitore. “
In parole povere il primo teorema afferma che: “In qualsiasi sistema formale che contiene l'aritmetica elementare, presupposto che il sistema sia coerente, esistono proposizioni "dimostrabilmente" indimostrabili, ma nondimeno vere.”
Nell’ultima parte viene solo accennata un’interessante congettura: “I teoremi di Gödel ci dicono,… cosa le nostre menti non potrebbero essere. In particolare, le nostre menti non potrebbero essere dei computer. Il ragionamento procede in questo modo. La conoscenza matematica che possediamo non può essere imprigionata in un sistema formale; questo è quanto sembra dirci il primo teorema di incompletezza di Gödel. Ma i sistemi formali sono esattamente quel che viene imprigionato nel processo di elaborazione dei computer, e costituiscono la ragione per cui essi sono in grado di arrivare alla rappresentazione delle cose senza nessun ricorso al significato. I computer lavorano secondo algoritmi e noi, a quanto sembra, no; dal che segue direttamente che le nostre menti non sono computer.”
Libro breve che introduce Gödel e i suoi teoremi. Mi sarebbe piaciuto che si parlasse più in dettaglio dell’impatto che hanno avuto i teoremi di incompletezza nella matematica e nella nostra società in generale.
L’autrice introduce i concetti fondamentali della logica: “Per un platonista, la verità matematica è dello stesso tipo di quello predominante nei regni minori. Una proposizione p è vera se e solo se p. "Babbo Natale esiste" è vero se e solo se Babbo Natale esiste. "Ogni numero pari maggiore di 2 è la somma di due numeri primi" è vero se e solo se non c'è un numero pari più grande di 2 che non è la somma di due numeri primi (anche se non potremo mai dimostrarlo)”. Spiega poi il fondamentale concetto di autoreferenzialità attraverso l’esempio: “"Questa frase è falsa" … Finiamo nei guai perché alcuni elementi linguistici parlano di sé, almeno potenzialmente, e in conseguenza di questa autoreferenzialità finiamo per affermare che una frase è vera e anche falsa, il che è logicamente impossibile per qualcosa che esiste. Il paradosso di Russell riguarda l'insieme di tutti gli insiemi che non sono elementi di se stessi.”
Nella logica l’intuizione non serve: “Un sistema formale è un sistema spogliato completamente dal ricorso all'intuizione.”
Una parte del libro spiega i due teoremi di incompletezza in termini semplici: “Gödel … dimostra che ci sono proposizioni aritmetiche vere che non sono dimostrabili. Una delle cose più strane è che la dimostrazione coinvolge la struttura del paradosso autoreferenziale, quell'abominio della ragione, e la riplasma per i propri fini. La strategia generale della dimostrazione - la parte facilmente accessibile della dimostrazione - può essere afferrata nel contesto del più vecchio paradosso conosciuto, il paradosso del mentitore. “
In parole povere il primo teorema afferma che: “In qualsiasi sistema formale che contiene l'aritmetica elementare, presupposto che il sistema sia coerente, esistono proposizioni "dimostrabilmente" indimostrabili, ma nondimeno vere.”
Nell’ultima parte viene solo accennata un’interessante congettura: “I teoremi di Gödel ci dicono,… cosa le nostre menti non potrebbero essere. In particolare, le nostre menti non potrebbero essere dei computer. Il ragionamento procede in questo modo. La conoscenza matematica che possediamo non può essere imprigionata in un sistema formale; questo è quanto sembra dirci il primo teorema di incompletezza di Gödel. Ma i sistemi formali sono esattamente quel che viene imprigionato nel processo di elaborazione dei computer, e costituiscono la ragione per cui essi sono in grado di arrivare alla rappresentazione delle cose senza nessun ricorso al significato. I computer lavorano secondo algoritmi e noi, a quanto sembra, no; dal che segue direttamente che le nostre menti non sono computer.”
Libro breve che introduce Gödel e i suoi teoremi. Mi sarebbe piaciuto che si parlasse più in dettaglio dell’impatto che hanno avuto i teoremi di incompletezza nella matematica e nella nostra società in generale.
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