A Course on Mathematical Logic

by Shashi Mohan Srivastava

This is a short, distinctive, modern, and motivated introduction to mathematical logic for senior undergraduate and beginning graduate students in mathematics and computer science. Any mathematician who is interested in knowing what logic is concerned with and who would like to learn GÃdel’s incompleteness theorems should find this book particularly convenient. The treatment is thoroughly mathematical, and the entire subject has been approached like a branch of mathematics. Serious efforts have been made to make the book suitable for the classroom as well as for self-reading. The book does not strive to be a comprehensive encyclopedia of logic. Still, it gives essentially all the basic concepts and results in mathematical logic. The book prepares students to branch out in several areas of mathematics related to foundations and computability such as logic, axiomatic set theory, model theory, recursion theory, and computability. The main prerequisite for this book is the willingness to work at a reasonable level of mathematical rigor and generality.

160 pages, Paperback

First published March 12, 2008

Reviews

[Aleksandar Janjic · Rating 2 out of 5]

Не знам да ли је до ове књиге или до саме тематике, али има у овој математичкој логици нешто што је неизмјерно иритантно, али не умијем тачно да упрем прстом у то. Могуће да су у питању ознаке, које су врло напорне, али могуће и да је једноставно суштина те дисциплине у томе да се познате ствари закомпликују и представе некако мистериозно.

Поента ове књиге је да се докаже Геделова теорема о некомплетности, а да би се то урадило креће се од некаквог врло минималног скупа симбола из којих се изводи гомила ствари из алгебре, аритметике и сл., што би ваљда требало да буде веома импресивно, међутим мени је само ишло на живце. Не кажем да је све кривица аутора књиге, заправо вјероватно није, јер колико ми се чини излагање је онолико педагошко колико то ова дисциплина допушта (што, истина, није много), али факат је да све ово дјелује некако... погрешно. Не у смислу да је нетачно, него једноставно... као да је у питању нешто што уопште не треба да се ради.

Пошто сам комплетну процедуру врло слабо разумио јер ми је било мрско да се удубљујем у суштину, ево само неколико набацаних замјерки, што аутору, што теорији. Прво, тврди се да је нула природан број. Није и свако ко то тврди може одмах да ме анфрендује. Друго, тврди се да је сваки елемент сваког скупа такође скуп, што је иритантни кретенизам. По томе, на примјер, не постоји рецимо скуп свих тренутно живих људи, јер човјек, је ли, није скуп. Али то је ваљда дио теорије. Иако ни у једном тренутку није експлицитно наглашено, очигледно је да се подразумијева да су и бројеви скупови. Ја наравно знам за ту наводну "дефиницију" бројева као скупова, али то је реално једна од најглупљих ствари које сам чуо у животу. И, успут, то што можете да дефинишете неки концепт који има неке сличности са неким већ познатим концептом не значи да имате право да новом концепту дајете име старог концепта. Дакле, бројеви нису скупови, океј? Међутим, с друге стране, оно што ЈЕСТЕ скуп је функција, а овде се константно раздвајају скупови и функције и прави се разлика између функције и њеног графика (та разлика иначе не постоји - функција је скуп тачака, тј. уређених парова (ако говоримо о функцијама једне промјенљиве) и график функције је заправо сама функција)). Из којег разлога функција није представљена као скуп у теорији у којој је све живо и мртво осим жабе и чудовишта из Лох Неса представљено као скуп мени је потпуно нејасно, али ту морам да признам да је вјероватно до мене и да то има неки разлог. Али управо постојање разлога за тако нешто говори колико је све ово бесмислено.

Коначно, све ово је врло кретенски и са педагошке стране. Ево једног примјера. Овде се теорија дефинише као неконзистентна ако је свака формула те теорије теорема. Затим се врло једноставно покаже да је ово еквивалентно са фактом да у теорији постоји формула која је тачна истовремено са својом негацијом. Ово је оно што свако од нас подразумијева под неконзистентном теоријом (и ово све уопште није ограничено на чисто математички смисао - за неког чоека ћете рећи да је неконзистентан ако данас говори једно а сутра друго, у смислу супторно). Е сад, као што зна свако ко се мало бавио математиком, ако имате дефиницију неког појма и његову карактеризацију, тј. тврђење типа "нешто је ПОЈАМ ако и само ако је ТО-И-ТО", онда ово ТО-И-ТО може без икаквих препрека да се сматра за дефиницију појма, а оно што је раније била дефиниција за карактеризацију, тј. теорему. Дакле, у овом случају су комотно могли да дефинишу неконзистентну теорију на врло природан и разумљив и очигледан начин, а они су је дефинисали врло закукуљено и замумуљено (поента која је скривена у дефиницији је, наравно, та да ако је свака формула уједно и теорема, тј. тачна, онда пошто је негација неке формуле такође формула, онда ће све формуле и њихове негације истовремено бити тачне и то је наравно контрадикција и неконзистентност). Зашто је ово урађено овако непедагошки? Јер мрш тамо и носи се читаоче, ето зашто.

У најкраћим цртама, ништа ми се ова математичка логика није свидјела, али вјероватно је нећу баталити и дефинитивно, наиме имам књигу Томаса Нагела о Геделовом доказу, па можда то буде мало пријемчивије. Додуше, поставља се оправдано питање зашто се једноставно не вратим овој књизи (и самом Геделу, на крају крајева) ако одлучим да стварно покушам ово да разумијем. Е па немам појма. Одох.

[Moloy De · Rating 5 out of 5]

Prof. S M Srivastava is my teacher from Indian Statistical Institute. Thanking him for writing the book.