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MATHÉMATIQUES: leur contenu, leurs méthodes, leur signification (Mathématiques, par Alexandrov, Kolmogorov et Lavrentiev)
« Une merveille ! » Étienne Ghys, secrétaire perpétuel (1ère division) de l'Académie des sciences. Cet ouvrage, écrit par une vingtaine des plus grands mathématiciens russes du XXe siècle, est d'une pédagogie exceptionnelle. L'école russe se caractérise par sa clarté et sa simplicité, éloignées du formalisme excessif de l'enseignement des mathématiques en France que l'on retrouve jusque dans les manuels de collège. Le niveau progressif des trois volumes va de la fin du lycée à la licence. Chaque notion est introduite par une description de l'environnement historique et culturel dans lequel elle est apparue. En montrant leur place logique dans l'histoire, leur utilité, et en les rendant intéressantes, l'ouvrage facilite beaucoup la compréhension des idées et l'apprentissage des méthodes mathématiques. Des exemples simples, soigneusement choisis, précèdent les parties théoriques qui réalisent un bon équilibre entre intuition et rigueur. Ce livre aidera les élèves, étudiants et enseignants en mathématiques, intéressera les utilisateurs par profession, physiciens, ingénieurs, chercheurs, et réconciliera avec la discipline celles et ceux qui furent peut-être rebutés par l'enseignement qu'ils reçurent à l'école. Table des matières du volume 1 Préface des auteurs
Avant-propos du traducteur Chapitre Vue d'ensemble des mathématiques
I.1 Caractéristiques des mathématiques
I.2 Arithmétique
I.3 Géométrie
I.4 Arithmétique et géométrie
I.5 L'âge des mathématiques élémentaires
I.6 Mathématiques des quantités variables
I.7 Mathématiques contemporaines
I.8 L'essence des mathématiques
I.9 Schéma de développement des mathématiques
Suggestions de lecture Chapitre Analyse
II.1 Introduction
II.2 Fonction
II.3 Limite
II.4 Fonctions continues
II.5 Dérivée
II.6 Règles de différentiation
II.7 Maximums et minimums. Exploration du graphe d'une fonction
II.8 Accroissement et différentielle d'une fonction
II.9 Formule de Taylor
II.10 Intégrale
II.11 Intégrales indéfinies. Techniques d'intégration
II.12 Fonctions à plusieurs variables
II.13 Généralisation du concept d'intégrale
II.14 Séries
Suggestions de lecture Chapitre Géométrie analytique
III.1 Introduction
III.2 Les deux grandes idées de Descartes
III.3 Problèmes les plus simples
III.4 Étude des courbes représentant des équations du 1e et du 2nd degré
III.5 Méthode de Descartes pour résoudre les équations algébriques du 3e et du 4e degré
III.6 Théorie générale des diamètres de Newton
III.7 Ellipse, hyperbole et parabole
III.8 Réduction de l'équation générale du 2nd degré à sa forme canonique
III.9 Représentation des forces, vitesses et accélérations par des triplets de nombres. Théorie des vecteurs
III.10 Géométrie analytique dans l'espace. Equation d'une surface dans l'espace et équation d'une courbe
III.11 Transformations orthogonales et affines
III.12 Théorie des invariants
III.13 Géométrie projective
III.14 Transformations de Lorentz
Conclusions
Suggestions de lecture Chapitre Théorie des équations algébriques
IV.1 Introduction
IV.2 Résolution algébrique des équations
IV.3 Théorème fondamental de l'algèbre
IV.4 Étude de la répartition des racines d'un polynôme dans le plan complexe
IV.5 Approximation numérique des racines
Suggestions de lecture
Téléchargez gratuitement un chapitre de chaque Volume 1 : chapitre II sur l'analyse :
Volume 2 : chapitre IX, sur les fonctions d'une variable complexe :
Volume 3 : chapitre XV sur la théorie de la mesure :
Avant-propos du traducteur Chapitre Vue d'ensemble des mathématiques
I.1 Caractéristiques des mathématiques
I.2 Arithmétique
I.3 Géométrie
I.4 Arithmétique et géométrie
I.5 L'âge des mathématiques élémentaires
I.6 Mathématiques des quantités variables
I.7 Mathématiques contemporaines
I.8 L'essence des mathématiques
I.9 Schéma de développement des mathématiques
Suggestions de lecture Chapitre Analyse
II.1 Introduction
II.2 Fonction
II.3 Limite
II.4 Fonctions continues
II.5 Dérivée
II.6 Règles de différentiation
II.7 Maximums et minimums. Exploration du graphe d'une fonction
II.8 Accroissement et différentielle d'une fonction
II.9 Formule de Taylor
II.10 Intégrale
II.11 Intégrales indéfinies. Techniques d'intégration
II.12 Fonctions à plusieurs variables
II.13 Généralisation du concept d'intégrale
II.14 Séries
Suggestions de lecture Chapitre Géométrie analytique
III.1 Introduction
III.2 Les deux grandes idées de Descartes
III.3 Problèmes les plus simples
III.4 Étude des courbes représentant des équations du 1e et du 2nd degré
III.5 Méthode de Descartes pour résoudre les équations algébriques du 3e et du 4e degré
III.6 Théorie générale des diamètres de Newton
III.7 Ellipse, hyperbole et parabole
III.8 Réduction de l'équation générale du 2nd degré à sa forme canonique
III.9 Représentation des forces, vitesses et accélérations par des triplets de nombres. Théorie des vecteurs
III.10 Géométrie analytique dans l'espace. Equation d'une surface dans l'espace et équation d'une courbe
III.11 Transformations orthogonales et affines
III.12 Théorie des invariants
III.13 Géométrie projective
III.14 Transformations de Lorentz
Conclusions
Suggestions de lecture Chapitre Théorie des équations algébriques
IV.1 Introduction
IV.2 Résolution algébrique des équations
IV.3 Théorème fondamental de l'algèbre
IV.4 Étude de la répartition des racines d'un polynôme dans le plan complexe
IV.5 Approximation numérique des racines
Suggestions de lecture
Téléchargez gratuitement un chapitre de chaque Volume 1 : chapitre II sur l'analyse :
Volume 2 : chapitre IX, sur les fonctions d'une variable complexe :
Volume 3 : chapitre XV sur la théorie de la mesure :
690 pages, Paperback
Published January 25, 2021
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Community Reviews
Displaying 1 of 1 review
December 29, 2021
Ou peut-être 3 étoiles et demie.
Il s'agit d'un manuel de mathématiques écrit dans les années 50 par un collectif d'auteurs soviétiques. Il est donc séparé de nous à la fois par l'espace (la culture et l'idéologie) et le temps. J'ai ressenti cela sur deux points en particulier : défiance à considérer les mathématiques comme abstraites et en allant plus loin on pourrait dire que ce livre ne considère quasiment que les mathématiques appliquées ; et bien sûr la numérique et les ordinateurs n'étant à l'époque qu'à leur premier balbutiements, toutes les méthodes numériques sont présentées comme devant être utilisées "à la main".
Ce que j'ai apprécié dans ce livre :
- j'ai aimé le premier chapitre qui est une histoire des mathématiques, à la fois très structurée et en même temps assez globale puisque les auteurs n'oublient rien des influences sur les mathématiques des différents pays et cultures.
- tous les concepts traités dans ce livre sont toujours replacé à la fois dans un contexte historique (quels changement de paradigme les ont rendu possible, à quoi font-ils suite, etc...) et dans un contexte pratique (quel problème voulait-on résoudre avec cette théorie ou quel problème cette théorie permet-il de résoudre).
On a presque l'impression que l'on nous prend par la main pour nous faire découvrir des pans entiers des mathématiques, ce qui n'est pas désagréable. Presque finalement le même genre de sensation que lorsqu'on lit un livre de vulgarisation. Mais une conséquence de cette approche c'est le manque de structure "logique" que serait une construction complète des mathématiques que l'on peut retrouver dans d'autres cours. C'est d'ailleurs ce que les auteurs veulent éviter. Ca ne pose pas de problème, mais ça veut dire que certains chapitres ont des prérequis qui ne sont pas expliqué au début (je pense par exemple aux nombres complexes dans le dernier chapitre sur la résolution des équations algébriques).
On en arrive à ce qui m'a moins plu :
- Il ne s'agit pas du tout d'un ouvrage de vulgarisation, même si le fait de se balader de concept en concept peut en donner l'illusion. En particulier, il demandera un bon niveau en mathématiques (calcul et géométrie pour le chapitre sur les courbes) pour qu'on puisse l'apprécier. En fait, je pense que c'est un ouvrage qui par sa présentation différente de ce qui se fait en France aura un attrait maximum pour quelqu'un qui connait déjà les notions présentées et qui les découvre ainsi sous un nouveau jour.
- Ce n'est pas pour moi réellement un manuel en ce qu'il ne contient pas du tout d'exercices. Et d'ailleurs, si les exemples sont particulièrement bien choisis et édifiants, ils sont là pour illustrer les concepts, mais pas pour expliquer comment les utiliser. Par exemple, un des chapitre consiste à expliquer comment n'importe quelle équation générale du second degré peut se réduire à 9 formes canoniques (ellipse, hyperbole, parabole, etc..). Et cela en pratiquant deux changements de repères. Mais il n'y a qu'un seul exemple dans lequel ceci est effectivement fait. Du coup le lecteur sera bien en peine de le refaire chez lui...
Contenu :
- Histoire des mathématiques
- Analyse (calcul différentiel, calcul intégrale, formule de Taylor, etc...)
- Géométrie analytique (classification des courbes du second degré dans le plan et dans l'espace, géométrie projective, ...)
- Théorie des équations algébrique (solutions des équations de degré 2, 3, 4, quelques méthodes de résolution numérique, démonstration du théorème d'Alembert-Gauss)
Citation : "La surface M du module de la fonction polynomiale f(z) s'étend au dessus du plan complexe z. (...)
On peut montrer qu'à mesure que z s'éloigne de l'origine du plan complexe, la surface s'élève et ressemble de plus en plus à la surface de révolution en faisant tourner le "paraboloïde d'ordre n" (...) autour de l'axe vertical Ot.
À l'inverse pour les petites valeurs de t, la surface M a une collection de minimums locaux, dont le nombre est égal au nombre de racines distinctes de f(z)=0. Et en chacun de ces minimums, comme les pieds d'une marmite, la surface M touche le plan complexe lui-même".
(l'image ressemble vraiment à une marmite).
Il s'agit d'un manuel de mathématiques écrit dans les années 50 par un collectif d'auteurs soviétiques. Il est donc séparé de nous à la fois par l'espace (la culture et l'idéologie) et le temps. J'ai ressenti cela sur deux points en particulier : défiance à considérer les mathématiques comme abstraites et en allant plus loin on pourrait dire que ce livre ne considère quasiment que les mathématiques appliquées ; et bien sûr la numérique et les ordinateurs n'étant à l'époque qu'à leur premier balbutiements, toutes les méthodes numériques sont présentées comme devant être utilisées "à la main".
Ce que j'ai apprécié dans ce livre :
- j'ai aimé le premier chapitre qui est une histoire des mathématiques, à la fois très structurée et en même temps assez globale puisque les auteurs n'oublient rien des influences sur les mathématiques des différents pays et cultures.
- tous les concepts traités dans ce livre sont toujours replacé à la fois dans un contexte historique (quels changement de paradigme les ont rendu possible, à quoi font-ils suite, etc...) et dans un contexte pratique (quel problème voulait-on résoudre avec cette théorie ou quel problème cette théorie permet-il de résoudre).
On a presque l'impression que l'on nous prend par la main pour nous faire découvrir des pans entiers des mathématiques, ce qui n'est pas désagréable. Presque finalement le même genre de sensation que lorsqu'on lit un livre de vulgarisation. Mais une conséquence de cette approche c'est le manque de structure "logique" que serait une construction complète des mathématiques que l'on peut retrouver dans d'autres cours. C'est d'ailleurs ce que les auteurs veulent éviter. Ca ne pose pas de problème, mais ça veut dire que certains chapitres ont des prérequis qui ne sont pas expliqué au début (je pense par exemple aux nombres complexes dans le dernier chapitre sur la résolution des équations algébriques).
On en arrive à ce qui m'a moins plu :
- Il ne s'agit pas du tout d'un ouvrage de vulgarisation, même si le fait de se balader de concept en concept peut en donner l'illusion. En particulier, il demandera un bon niveau en mathématiques (calcul et géométrie pour le chapitre sur les courbes) pour qu'on puisse l'apprécier. En fait, je pense que c'est un ouvrage qui par sa présentation différente de ce qui se fait en France aura un attrait maximum pour quelqu'un qui connait déjà les notions présentées et qui les découvre ainsi sous un nouveau jour.
- Ce n'est pas pour moi réellement un manuel en ce qu'il ne contient pas du tout d'exercices. Et d'ailleurs, si les exemples sont particulièrement bien choisis et édifiants, ils sont là pour illustrer les concepts, mais pas pour expliquer comment les utiliser. Par exemple, un des chapitre consiste à expliquer comment n'importe quelle équation générale du second degré peut se réduire à 9 formes canoniques (ellipse, hyperbole, parabole, etc..). Et cela en pratiquant deux changements de repères. Mais il n'y a qu'un seul exemple dans lequel ceci est effectivement fait. Du coup le lecteur sera bien en peine de le refaire chez lui...
Contenu :
- Histoire des mathématiques
- Analyse (calcul différentiel, calcul intégrale, formule de Taylor, etc...)
- Géométrie analytique (classification des courbes du second degré dans le plan et dans l'espace, géométrie projective, ...)
- Théorie des équations algébrique (solutions des équations de degré 2, 3, 4, quelques méthodes de résolution numérique, démonstration du théorème d'Alembert-Gauss)
Citation : "La surface M du module de la fonction polynomiale f(z) s'étend au dessus du plan complexe z. (...)
On peut montrer qu'à mesure que z s'éloigne de l'origine du plan complexe, la surface s'élève et ressemble de plus en plus à la surface de révolution en faisant tourner le "paraboloïde d'ordre n" (...) autour de l'axe vertical Ot.
À l'inverse pour les petites valeurs de t, la surface M a une collection de minimums locaux, dont le nombre est égal au nombre de racines distinctes de f(z)=0. Et en chacun de ces minimums, comme les pieds d'une marmite, la surface M touche le plan complexe lui-même".
(l'image ressemble vraiment à une marmite).
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