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Philosophie der Arithmetik: Mit Ergänzenden Texten (1890–1901) (Husserliana: Edmund Husserl – Gesammelte Werke, 12)
Der Begriff der Zahl ist ein vielfacher. Darauf weist uns schon die Mehrheit verschiedener Zahlworter hin, die in der Sprache des gewohnlichen Lebens auftreten und von den Grammatikern unter 5 folgenden Titeln aufgefiihrt zu werden die Anzahlen oder Grundzahlen (numeralia cardinalia), die Ordnungszahlen (n. ordinalia), die Gattungszahlen (n. specialia), die Wiederho- lungszahlen (n. iterativa), die Vervielfaltigungszahlen (n. multi- plicativa) und die Bruchzahlen (n. partitiva). DaB die Anzahlen 10 als die ersten in dieser Reihe genannt werden, beruht ebenso wie die charakteristischen N amen, die sie sonst tragen - Grund- oder Kardinalzahlen -, nicht auf bloBer Konvention. Sie nehmen sprachlich eine bevorzugte SteHung dadurch ein, daB die samt- lichen iibrigen Zahlworter nur durch geringe Modifikationen aus 15 den Anzahlwortern hervorgehen (z. B. zwei, zweiter, zweierlei, zweifach, zweimal, zweitel). Die letzteren sind also wahrhafte Grundzahlworter. Die Sprache leitet uns hiermit auf den Gedan- ken hin, es mochten auch die korrespondierenden Beg r iff e samtlich in einem analogen Abhangigkeitsverhaltnisse stehen 20 zu denen der Anzahlen und gewisse inhaltsreichere Gedanken vor- steHen, in welchen die Anzahlen bloBe Bestandteile bilden. Die einfachste Uberlegung scheint dies zu bestatigen. So handelt es sich bei den Gattungszahlen (einerlei, zweierlei usw. ) um eine Anzahl von Verschiedenheiten innerhalb einer Gattung; bei den Wieder- 25 holungszahlen (einmal, zweimal usw. ) um die Anzahl einer Wiederholung. Bei den Vervielfaltigungs- und Bruchzahlen dient die Anzahl dazu, das Verhaltnis eines in gleiche Teile geteilten Ganzen zu einem Teile bzw.
- GenresPhilosophy
616 pages, Hardcover
First published July 31, 1970
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About the author
Edmund Husserl
524 books555 followersEdmund Gustav Albrecht Husserl (Dr. phil. hab., University of Halle-Wittenberg, 1887; Ph.D., Mathematics, University of Vienna, 1883) was a philosopher who is deemed the founder of phenomenology. He broke with the positivist orientation of the science and philosophy of his day, believing that experience is the source of all knowledge, while at the same time he elaborated critiques of psychologism and historicism.
Born into a Moravian Jewish family, he was baptized as a Lutheran in 1887. Husserl studied mathematics under Karl Weierstrass, completing a Ph.D. under Leo Königsberger, and studied philosophy under Franz Brentano and Carl Stumpf. Husserl taught philosophy, as a Privatdozent at Halle from 1887, then as professor, first at Göttingen from 1901, then at Freiburg im Breisgau from 1916 until his 1928 retirement.
Born into a Moravian Jewish family, he was baptized as a Lutheran in 1887. Husserl studied mathematics under Karl Weierstrass, completing a Ph.D. under Leo Königsberger, and studied philosophy under Franz Brentano and Carl Stumpf. Husserl taught philosophy, as a Privatdozent at Halle from 1887, then as professor, first at Göttingen from 1901, then at Freiburg im Breisgau from 1916 until his 1928 retirement.
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August 28, 2022
Edmund Husserl, known today as the founder of the phenomenological school of twentieth-century Continental philosophy, got his start as a mathematician and only later in the course of his long career settled into the role of the philosopher as critic of epistemological foundations. Thus, he earned his doctorate in pure mathematics and his habilitation at the university of Halle-Wittenberg in 1887 proceeds from work on the philosophy of arithmetic which was written up and published as Philosophie der Arithmetik. Logische und psychologische Untersuchungen (1891), now available in the Felix Meiner reprint as the first volume of his collected works. Already from its title one can discern the direction in which Husserl’s reflections are headed, for he (like Frege) cares more about the question as to the source of mathematical knowledge than about any further elaboration of the discipline itself, as encapsulated in far-reaching theorems (one will recall that the early period of Husserl’s career coincides with a flourishing of algebra and number theory, both then reaching a stage of relative maturity under the impulse of Dedekind and Kronecker, inter alia – for instance, Hadamard and Poissin employ the newly developed techniques of complex analysis to prove the prime number theorem in 1896).
A glance at the table of contents will reveal how different in spirit Husserl is from Frege. Whereas the latter plunges right in of set purpose, the former – more philosophically inclined! – prefers to dwell for a while on the establishment of the psychological nature of concepts involved in elementary arithmetic (adhering thus to Aristotle’s prescription for how a philosophical investigation ought to be conducted). Hence, he reflects on the origin of the concept of the many by means of a collective connection [Verbindung], how this colligation of mental contents (indeed, an abstraction from them) relates to the temporal and spatial syntheses of the manifold of experience and what is specific to enumeration [zählen] in particular, as opposed to the operation of forming a mere collective [Einigung]. In the remaining chapters of part i, considers the relation of more and less, comparison, equinumerosity and 1-1 correspondences and discusses unity versus plurality, i.e., the definition of a natural number as a plurality [Vielheit] of units [Einheiten].
Part ii is dedicated to the further logical analysis of arithmetic: what Frege leaves for the most part undone. Hence, first, a reflection on symbolic representation of numbers. For how (by what process of abstraction) do we go from sensible sets to their corresponding numbers as represented by a symbol? This operation is not as straightforward as it might seem, since somehow we have to decide what belongs to the set being counted and what does not and there is the further problem of justifying when we have run through the set and counting is complete. Infinite sets present difficulties of their own.
Then there are also the basic arithmetic operations, for the numbers with which we ordinarily have to do arise not merely through counting but also through calculation with other numbers. For Husserl, it constitutes an interesting inquiry in its own right to analyze the passage from the algorithms with which one is accustomed to compute [Rechenkunst] to arithmetic proper, which is to say, the science of number [Wissenschaft]. The algorithmist is content when his procedures work in practice and asks nothing more, while the mathematician demands knowledge, or justification of their correctness.
A good deal of Husserl’s motivation is to critique Frege’s notion of Anzahl as 1-1 correspondence in chapter six of part i [pp. 96-110]:
Unsere letzte Analysen [previous section on Vergleichung von Vielheiten in Beziehung auf ihre Zahlen] setzen den Sinn und die Tragweite der behandelten Gleichheitsdefinition ins klarste Licht. Die Möglichkeit der gegenseitig-eindeutigen Zuordnung zweier Vielheiten ist nicht deren Gleichzahligkeit, sondern verbürgt sie nur. [p, 105]
The kernel of Husserl’s critique of Frege then follows,
In dieser Weise mag nun je nach Umständen des eine Mal diese, das andere Mal jene Verknüpfungsart als Hilfsmittel der Zuordnung und Zahlvergleighung dienen können. Sicher ist aber der auxiliäre Charakter solcher Verknüpfungsarten. Beachtet man dies, so wird es auch klar, daß nicht jede Relation, wie behauptet wird, als zuordnende zu gebrauchen ist, sondern nur die kollektive, während irgendwelche andere eben nur sofern in Betracht kommen können, als sie diese symbolsich zu vertreten geeignet sind. Angenommen, es sei φ eine beliebige, aber bestimmte Relation, welche die Elemente beider Mengen in gegenseitig-eindeutige Relation setzts; dann frage ich: was soll diese Relation uns denn leisten? Sie bewirkt, sagt man, die gewünschte Zuordnung. Aber was sie leistet, das leistet jede andere Relation, die zwischen den beiderseitigen Elementen möglich ist. Kommt es aber auf das Was der Zuordnungsrelation nicht an, nun dann kann es auch nicht wesentlich sein, daß eine Relation überhaupt da ist. Der allgemeine Gedanke, es sei einer x-beliebige Relation annehmbar, ist doch hier zu nichts nütze. Das Wesentliche ist eben, daß die korrespondierenden Elemente in unserem Denken verknüpft, daß sie kolligiert seien; denn dies ist uns wertvoll als absolut sicheres Zeichen dafür, daß je eine Einheit der einen je einer der zweiten Menge entspricht. Finden wir zufällig eine inhaltliche Verknüpfung vor, welche die Elemente beider Mengen paarweise vereinigt, so ist sie uns willkommen, weil sie unser verknüpfendes Denken bequem ableitet oder gar symbolisch vertritt. Von ihr muß aber wieder abstrahiert werden, soll der Zweck des Prozesses überhaupt erfüllt werden. Eine Relation erst künstlich herbeiziehen in Absicht auf eindeutige Zuordnung, das heißt ihren Zweck vergessen und verfehlen; denn dies hätte den Erfolg, die Aufmerksamkeit abzulenken von dem, worauf es bei der Sache ankommt, nämlich von der Zahlvergleichung. [p. 109]
See also pp. 118-122: Frege defines only the Umfang not the Inhalt. Another incisive point against Frege; 0 and 1 do have special properties, e.g. that addition by zero does not increase etc. [p. 134].
One will find scarcely any formulae in Husserl’s text. But he does not after all think like a mathematician, for whom the concept of 1-1 correspondence is very productive. In particular, he does not seem to have in mind any transfinite numbers. Consider the following statement:
Die Zahlen sind die unterschiedenen Spezies des allgemeinen Begriffs der Vielheit. Jeder konkreten Vielheit entspricht, möge sie nun eigentlich oder symbolisch vorgestellt sein, eine bestimmte Vielheit von Einheiten, eine Anzahl. [p. 222]
Thus to proceed really makes sense only for finite countable sets! In general, the issue seems to be that Husserl wants to attend to what is involved for us, psychologically, when we count and perform arithmetical operations, before arriving at a conceptual philosophical adjudication of what is at stake, whereas Frege and company are satisfied if they can accomplish the goal of a logical reduction of arithmetic – other words, they are interested in the bare result while Husserl cares also how one gets there! The section on die figuralen Momente [pp. 203-212] illustrates well how Husserl the nascent phemonenologist thinks at much greater depth than the logicians Frege/Russell et al. For Frege, the problem as to how one is to recognize a number, if it represent a collective in the real world, appears not even so much as to exist!
Five stars. Worthwhile to the student of pure mathematics as another look at the foundations of arithmetic, distinct from the familiar approaches one finds in the literature on the philosophy of mathematics as pursued by the conventional analytic school, and to the student of phenomenology itself as prefiguring Husserl’s distinctive style of philosophizing in general. At any rate, reasonably concise!
A glance at the table of contents will reveal how different in spirit Husserl is from Frege. Whereas the latter plunges right in of set purpose, the former – more philosophically inclined! – prefers to dwell for a while on the establishment of the psychological nature of concepts involved in elementary arithmetic (adhering thus to Aristotle’s prescription for how a philosophical investigation ought to be conducted). Hence, he reflects on the origin of the concept of the many by means of a collective connection [Verbindung], how this colligation of mental contents (indeed, an abstraction from them) relates to the temporal and spatial syntheses of the manifold of experience and what is specific to enumeration [zählen] in particular, as opposed to the operation of forming a mere collective [Einigung]. In the remaining chapters of part i, considers the relation of more and less, comparison, equinumerosity and 1-1 correspondences and discusses unity versus plurality, i.e., the definition of a natural number as a plurality [Vielheit] of units [Einheiten].
Part ii is dedicated to the further logical analysis of arithmetic: what Frege leaves for the most part undone. Hence, first, a reflection on symbolic representation of numbers. For how (by what process of abstraction) do we go from sensible sets to their corresponding numbers as represented by a symbol? This operation is not as straightforward as it might seem, since somehow we have to decide what belongs to the set being counted and what does not and there is the further problem of justifying when we have run through the set and counting is complete. Infinite sets present difficulties of their own.
Then there are also the basic arithmetic operations, for the numbers with which we ordinarily have to do arise not merely through counting but also through calculation with other numbers. For Husserl, it constitutes an interesting inquiry in its own right to analyze the passage from the algorithms with which one is accustomed to compute [Rechenkunst] to arithmetic proper, which is to say, the science of number [Wissenschaft]. The algorithmist is content when his procedures work in practice and asks nothing more, while the mathematician demands knowledge, or justification of their correctness.
A good deal of Husserl’s motivation is to critique Frege’s notion of Anzahl as 1-1 correspondence in chapter six of part i [pp. 96-110]:
Unsere letzte Analysen [previous section on Vergleichung von Vielheiten in Beziehung auf ihre Zahlen] setzen den Sinn und die Tragweite der behandelten Gleichheitsdefinition ins klarste Licht. Die Möglichkeit der gegenseitig-eindeutigen Zuordnung zweier Vielheiten ist nicht deren Gleichzahligkeit, sondern verbürgt sie nur. [p, 105]
The kernel of Husserl’s critique of Frege then follows,
In dieser Weise mag nun je nach Umständen des eine Mal diese, das andere Mal jene Verknüpfungsart als Hilfsmittel der Zuordnung und Zahlvergleighung dienen können. Sicher ist aber der auxiliäre Charakter solcher Verknüpfungsarten. Beachtet man dies, so wird es auch klar, daß nicht jede Relation, wie behauptet wird, als zuordnende zu gebrauchen ist, sondern nur die kollektive, während irgendwelche andere eben nur sofern in Betracht kommen können, als sie diese symbolsich zu vertreten geeignet sind. Angenommen, es sei φ eine beliebige, aber bestimmte Relation, welche die Elemente beider Mengen in gegenseitig-eindeutige Relation setzts; dann frage ich: was soll diese Relation uns denn leisten? Sie bewirkt, sagt man, die gewünschte Zuordnung. Aber was sie leistet, das leistet jede andere Relation, die zwischen den beiderseitigen Elementen möglich ist. Kommt es aber auf das Was der Zuordnungsrelation nicht an, nun dann kann es auch nicht wesentlich sein, daß eine Relation überhaupt da ist. Der allgemeine Gedanke, es sei einer x-beliebige Relation annehmbar, ist doch hier zu nichts nütze. Das Wesentliche ist eben, daß die korrespondierenden Elemente in unserem Denken verknüpft, daß sie kolligiert seien; denn dies ist uns wertvoll als absolut sicheres Zeichen dafür, daß je eine Einheit der einen je einer der zweiten Menge entspricht. Finden wir zufällig eine inhaltliche Verknüpfung vor, welche die Elemente beider Mengen paarweise vereinigt, so ist sie uns willkommen, weil sie unser verknüpfendes Denken bequem ableitet oder gar symbolisch vertritt. Von ihr muß aber wieder abstrahiert werden, soll der Zweck des Prozesses überhaupt erfüllt werden. Eine Relation erst künstlich herbeiziehen in Absicht auf eindeutige Zuordnung, das heißt ihren Zweck vergessen und verfehlen; denn dies hätte den Erfolg, die Aufmerksamkeit abzulenken von dem, worauf es bei der Sache ankommt, nämlich von der Zahlvergleichung. [p. 109]
See also pp. 118-122: Frege defines only the Umfang not the Inhalt. Another incisive point against Frege; 0 and 1 do have special properties, e.g. that addition by zero does not increase etc. [p. 134].
One will find scarcely any formulae in Husserl’s text. But he does not after all think like a mathematician, for whom the concept of 1-1 correspondence is very productive. In particular, he does not seem to have in mind any transfinite numbers. Consider the following statement:
Die Zahlen sind die unterschiedenen Spezies des allgemeinen Begriffs der Vielheit. Jeder konkreten Vielheit entspricht, möge sie nun eigentlich oder symbolisch vorgestellt sein, eine bestimmte Vielheit von Einheiten, eine Anzahl. [p. 222]
Thus to proceed really makes sense only for finite countable sets! In general, the issue seems to be that Husserl wants to attend to what is involved for us, psychologically, when we count and perform arithmetical operations, before arriving at a conceptual philosophical adjudication of what is at stake, whereas Frege and company are satisfied if they can accomplish the goal of a logical reduction of arithmetic – other words, they are interested in the bare result while Husserl cares also how one gets there! The section on die figuralen Momente [pp. 203-212] illustrates well how Husserl the nascent phemonenologist thinks at much greater depth than the logicians Frege/Russell et al. For Frege, the problem as to how one is to recognize a number, if it represent a collective in the real world, appears not even so much as to exist!
Five stars. Worthwhile to the student of pure mathematics as another look at the foundations of arithmetic, distinct from the familiar approaches one finds in the literature on the philosophy of mathematics as pursued by the conventional analytic school, and to the student of phenomenology itself as prefiguring Husserl’s distinctive style of philosophizing in general. At any rate, reasonably concise!
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