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Multilevel Models: Applications using SAS®
Interest in multilevel statistical models for social science and public health studies has been aroused dramatically since the mid-1980s. New multilevel modeling techniques are giving researchers tools for analyzing data that have a hierarchical or clustered structure. Multilevel models are now applied to a wide range of studies in sociology, population studies, education studies, psychology, economics, epidemiology, and public health. This book covers a broad range of topics about multilevel modeling. The goal of the authors is to help students and researchers who are interested in analysis of multilevel data to understand the basic concepts, theoretical frameworks and application methods of multilevel modeling. The book is written in non-mathematical terms, focusing on the methods and application of various multilevel models, using the internationally widely used statistical software, the Statistics Analysis System (SAS). Examples are drawn from analysis of real-world research data. The authors focus on twolevel models in this book because it is most frequently encountered situation in real research. These models can be readily expanded to models with three or more levels when applicable. A wide range of linear and non-linear multilevel models are introduced and demonstrated.
274 pages, Hardcover
First published December 23, 2011
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March 8, 2019引言 多水平模型处理等级结构化资料（P 9）
优势：
1、不需要满足观测间相互独立的假设，因引入组内相关系数（ICC）；
2、分析不同水平解释变量及跨水平交互作用对因变量的效应；
3、在多次测量的纵向数据中，分析效应随时间的改变轨迹，此时即为增长模型。
P 13: 组内相关系数（ICC）
ICC=组间变异/总变异。
组内相关系数ICC居然是等于组间变异占总变异的百分比。这是经过相关系数公式和协方差公式推导过来的。为方便理解：组内同质（即ICC很大）意味着组间变异也大；如果组内个体都是相互独立的（即ICC很小或O），也即组内不同质，也意味着组间变异很小（因为组内变异占了大部分。
ICC不仅用在多水平模型中，更常用于重测信度 （reliability）评价。
第2章 多水平模型的基本原理（P13 - P38）：很枯燥无味的一章，涉及很多公式，尽管作者已试图用最简的二水平模型（比如班级和学生）来阐述多水平模型的构建、假设、估计、拟合、检验、评价、比较。
1. 模型的 formulation
（1）第一步：在每个班级中，先在学生水平建立回归模型；
（2）第二步：在学生水平建立的模型中所得到的回归系数（包括截距系数和斜率系数），作为因变量，而班级水平的变量作为自变量，再建立回归方程，从而得出班级水平模型的回归系数。
2. 回归系数的固定效应和随机效应
班级水平：3个班级。
学生水平：每个班级几十学生。
问题：身高与心率的关系。
在每个班级都建立学生身高与心率的回归模型，则会有3个模型。
如果学生水平的回归系数（截距intercept或斜率slope）在各班级水平都是同一个常量，则为固定效应；
如果如果学生水平的回归系数（截距intercept或斜率slope）在各班级水平各不相同，也说明与班级水平的交互作用存在，则为随机效应。
可以截距固定，斜率随机；斜率固定，截距随机；或两者都随机。
要注意的是班级水平的回归系数都是固定效应。
3. 数据的中心化
截距指的是X=0时的Y值，如果原始数据本身不可能为0或为0 时就变得无意义，那么回归得到的截距也就没法解释或无意义。比如研究成人年龄与肺活量关系，年龄不可能为0，得到的截距也就没意义。这是需要将原始数据（即年龄）减去总研究人群年龄的平均值，再进模型，也即中心化处理。
4. 模型参数的估计
最大似然法，是不断迭代的过程。在SAS中，直到两次迭代的参数差异小于10-8时模型收敛。
在Proc Mixed 过程步，SAS默认的最大迭代次数是50，超过50尚未收敛，则模型不能收敛。
（1）Full information maximum likelihood (FML)
(2) Restricted maximum likelihood (REML)：Proc Mixed即用此法。
5. 模型评价
Proc Mixed提供AIC、AICC、BIC指数，都是越小越好。
模型比较：两个嵌套模型拟合优度的差符合卡方分布。
这应该是最难看一章，内容也远多于上面总结的，后面会是结合实例在不同数据类型中的应用，会好一些。
第3章 多水平模型在横断面数据的应用（相对于纵向数据longitudinal data） P 39-72
用实例介绍。本书用SAS软件实现。
第1步，先运行空模型：即个体层面的变量 和 group层面变量均不放入。目的是看ICC 大小，是否有意义，看是否有必要用多水平模型。ICC大，说明组间变异大，见ICC公式；
第2步， 因为ICC有意义，故将group水平变量放入模型；
第3步，将个体层面变量放入模型；
第4步，检验个体层面变量的回归系数是随机效应还是固定效应，也即这些个体层面回归系数在不同group水平是否不同；
第5步，处理交互作用，即检验个体水平变量（有随机效应的变量）对结局的效应是否随group不同而不同。
现实中，可以直接从第4步做起。
第4章是感兴趣的多水平模型在纵向数据中的应用。
优势：
1、不需要满足观测间相互独立的假设，因引入组内相关系数（ICC）；
2、分析不同水平解释变量及跨水平交互作用对因变量的效应；
3、在多次测量的纵向数据中，分析效应随时间的改变轨迹，此时即为增长模型。
P 13: 组内相关系数（ICC）
ICC=组间变异/总变异。
组内相关系数ICC居然是等于组间变异占总变异的百分比。这是经过相关系数公式和协方差公式推导过来的。为方便理解：组内同质（即ICC很大）意味着组间变异也大；如果组内个体都是相互独立的（即ICC很小或O），也即组内不同质，也意味着组间变异很小（因为组内变异占了大部分。
ICC不仅用在多水平模型中，更常用于重测信度 （reliability）评价。
第2章 多水平模型的基本原理（P13 - P38）：很枯燥无味的一章，涉及很多公式，尽管作者已试图用最简的二水平模型（比如班级和学生）来阐述多水平模型的构建、假设、估计、拟合、检验、评价、比较。
1. 模型的 formulation
（1）第一步：在每个班级中，先在学生水平建立回归模型；
（2）第二步：在学生水平建立的模型中所得到的回归系数（包括截距系数和斜率系数），作为因变量，而班级水平的变量作为自变量，再建立回归方程，从而得出班级水平模型的回归系数。
2. 回归系数的固定效应和随机效应
班级水平：3个班级。
学生水平：每个班级几十学生。
问题：身高与心率的关系。
在每个班级都建立学生身高与心率的回归模型，则会有3个模型。
如果学生水平的回归系数（截距intercept或斜率slope）在各班级水平都是同一个常量，则为固定效应；
如果如果学生水平的回归系数（截距intercept或斜率slope）在各班级水平各不相同，也说明与班级水平的交互作用存在，则为随机效应。
可以截距固定，斜率随机；斜率固定，截距随机；或两者都随机。
要注意的是班级水平的回归系数都是固定效应。
3. 数据的中心化
截距指的是X=0时的Y值，如果原始数据本身不可能为0或为0 时就变得无意义，那么回归得到的截距也就没法解释或无意义。比如研究成人年龄与肺活量关系，年龄不可能为0，得到的截距也就没意义。这是需要将原始数据（即年龄）减去总研究人群年龄的平均值，再进模型，也即中心化处理。
4. 模型参数的估计
最大似然法，是不断迭代的过程。在SAS中，直到两次迭代的参数差异小于10-8时模型收敛。
在Proc Mixed 过程步，SAS默认的最大迭代次数是50，超过50尚未收敛，则模型不能收敛。
（1）Full information maximum likelihood (FML)
(2) Restricted maximum likelihood (REML)：Proc Mixed即用此法。
5. 模型评价
Proc Mixed提供AIC、AICC、BIC指数，都是越小越好。
模型比较：两个嵌套模型拟合优度的差符合卡方分布。
这应该是最难看一章，内容也远多于上面总结的，后面会是结合实例在不同数据类型中的应用，会好一些。
第3章 多水平模型在横断面数据的应用（相对于纵向数据longitudinal data） P 39-72
用实例介绍。本书用SAS软件实现。
第1步，先运行空模型：即个体层面的变量 和 group层面变量均不放入。目的是看ICC 大小，是否有意义，看是否有必要用多水平模型。ICC大，说明组间变异大，见ICC公式；
第2步， 因为ICC有意义，故将group水平变量放入模型；
第3步，将个体层面变量放入模型；
第4步，检验个体层面变量的回归系数是随机效应还是固定效应，也即这些个体层面回归系数在不同group水平是否不同；
第5步，处理交互作用，即检验个体水平变量（有随机效应的变量）对结局的效应是否随group不同而不同。
现实中，可以直接从第4步做起。
第4章是感兴趣的多水平模型在纵向数据中的应用。
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