Fuzzy Implications

by Michał Baczyński, Balasubramaniam Jayaram

Nothing new had been done in Logic since Aristotle! -KurtGodel ] (1906-1978) Fuzzyimplicationsareoneof themain operationsinfuzzy logic.Theygeneralize the classical implication, which takes values in {0,1}, to fuzzy logic, where the truth values belong to the unit interval [0,1]. In classical logic the implication canbede?nedindi?erentways.Threeofthesehavecometo assumegreatert- oreticalimportance, viz. the usual materialimplication from the Kleene algebra, the implication obtained as the residuum of the conjunction in Heyting algebra (also called pseudo-Boolean algebra) in the intuitionistic logic framework and the implication (also called as 'Sasaki arrow') in the setting of quantum logic. Interestingly, despite their di?ering de?nitions, their truth tables are identical in classical case. However, the natural generalizations of the above de?nitions in the fuzzy logic framework are not identical. This diversity is more a boon than a bane and has led to some intensive research on fuzzy implications for close to three decades. It will be our endeavor to cover the various works churned out in this period to su?cient depth and allowable breadth in this treatise. In the forewordto Klir andYuan's book[147], ProfessorLot?A. Zadehstates the "The problem is that the term 'fuzzy logic' has two di?erent meanings.

328 pages, Hardcover

First published October 10, 2008

Reviews

[Aleksandar Janjic · Rating 5 out of 5]

Почео сам да пишем обиман ривју и таман сам се разбаљезгао о импликацији и кликнуо на неко дугме и све је отишло у три лијепе материне. Не могу сад поново да пишем. У најнајнајкраћим цртама, књига се, као што јој и име каже, бави врло обимном теоријом фази импликација. Шта је фази импликација? Па, као што знамо, обична импликација представља пресликавање са скупа {0,1}x{0,1} у скуп {0,1} такво да се пару (1,0) придружује вриједност 0, а свим осталим паровима јединица. Фази импликација, као и сви остали фази логички оператори, умјесто двочланог скупа {0,1} пролазе кроз комплетан интервал [0,1], тј. као могуће истинитосне вриједности поред нуле и јединице јавља се и било који број између то двоје.

Фази импликација је дакле функција I:[0,1]x[0,1]->[0,1] дефинисана тако да задовољава неколико услова које сад нећу спомињати јер ми је мрско (а и заборавио сам их) и да се на комбинацијама самих нула и јединица поклапа са обичном импликацијом. Ја рекох "функција" у једнини, али заправо ових функција има непребројиво много. Теорија фази импликација се, дакле, бави анализом ових функција, њиховим особинама, условима које задовољавају, колико добро се приближавају духу стандардне импликације и томе слично. Све ово је обрађено прилично детаљно и на задовољавајући начин. Књига садржи велики број тврђења, додуше са доказима је нешто тања, али је за сваку недоказану теорему наведено гдје доказ може да се нађе (не рачунајући неке основне теореме из математичке анализе).

Ова теорија изгледа врло занимљиво, врло је "аналитичка" али иако ми је математичка анализа по омиљености увијек била ту негдје са жвакањем стуцаног стакла, ове импликације су ме из неког разлога привукле. Мислим, реално гледано, то је заправо само теорија неких посебних врста функција двије промјенљиве. Спомињу се ту доста непрекидност, монотоност, супремуми, инфимуми и други језиви аналитички појмови, па ко то воли, може да баци поглед и на ово. Наравно, поента комплетне фази логике, самим тим и фази импликација, јесте да има неку примјену у пракси, и то је илустровано у посљедњем поглављу ове књиге. Оно што није наведено у књизи, а реално је случај, је да су неке импликације много згодне, а неке су чисто иживљавање које не служи ничему.

Не знам да ли је ауторима то био свјесни циљ, али ова књига је мнооооооооооооого погодна за потенцијалне истраживаче. Осим што је натоварена референцама (има им мислим скоро тристо комада разноразних књига и радова), свако поглавље се завршава библиографским информацијама у којима су наведени неки историјски подаци везани за појмове из поглавља, као и занимљиви и још увијек неријешени проблеми из те области. Дакле, као уџбеник јесте добра, мада би наравно било пожељно да садржи више доказа, али као преглед литературе је ненадмашна. Ако се којим случајем спремате да нападнете докторат из математичке анализе, а треба вам инспирација, најозбиљније бих вам препоручио да баците поглед на ову књигу.