في المنطق الرياضي ( 11 ) الصيغ التي تحوي اكثر من متغيرين قضويين

    كل الامثلة التي اعطيتها حتى الان للصيغ الرمزية وصور الحجج المرمزة تحتوي على متغيرين قضويين فقط .او متغير قضوي واحد . بالطبع في الحجج لا نقتصر على استخدام قضيتين او قضية واحدة ، بل نشير لعدة قضايا .    في كثير من الاحيان كل التغيير الذي سيطرأ على جداول الصدق هو ان عدد امكانيات الصدق والكذب للمتغيرات القضوية سيزيد .    نلاحظ اولا انه في حالة وجود متغير قضوي واحد تكون امكانيات الصدق هي " ص " او " ك " :                                    ق                               ----------                                  ص                                 ك   اذا كان لدينا متغيرين قضويين ، فأن امكانيات الصدق اربعة :




                         ق                ل                      --------------------                       ص             ص                       ص             ك                       ك              ص                       ك              كأما اذا كان لدينا ثلاثة متغيرات قضوية ، فإن عدد الامكانيات سيكون ثمانية هكذا :   ق   ل   م   ص   ص   ص   ص   ص   ك   ص   ك   ص   ص   ك   ك   ك   ص   ص   ك   ص   ك   ك   ك   ص   ك   ك   ك                  يتحدد عدد امكانيات الصدق في حالة وجود اكثر من متغيرين قضويين باستخدام المعادلة الاتية : 2 ن ( أي اثنين للقوة ن ) والعدد اثنين هنا يشير لقيمتي الصدق والكذب . اما ن فمتغير نعوض عنه بعدد المتغيرات القضوية التي لدينا .. مثلا اذا كانت لدينا ثلاثة متغيرات قضوية ، فان عدد امكانيات الصدق سيكون 2 اس 3 (  أي   اثنين للقوة 3 ) . وهذا يساوي 8 .      اذا كان عدد المتغيرات القضوية اربعة ، فان امكانيات الصدق ستكون : 3 اس 3 = 16 ..  لو كان لدينا عشرة متغيرات قضوية فان امكانيات الصدق ستكون : 2 اس 1 = 1024 . نلاحظ هنا ضخامة الارقام وهذا يجعل من استخدام الجداول في شكلها الذي شرحناه ، عملا مملا ومقفعا في الخطأ . لذلك سنلجأ الى استخدام وسيلة مختصرة نحدد بها قيم الصدق للصيغ تريحنا من التطويل الممل الذي يجعل امكانية الخطأ كبيرة .
                               جداول الصدق المختصرة    قدمت اكثر من سيلة لاختصار الجداول من قبل المناطقة . سأشير لواحدة منها فقط ، تعتمد الوسيلة التي ساعطيها هنا نقطة اساسية في معنى الصورة الصحيحة . ذكرتها من قبل وساكررها هنا . نقول عن مقدمة او مقدمات انها تتضمن النتيجة او ان النتيجة لازمة عنها اذا انكرنا امكانية ان تكون المقدمات صادقة والنتيجة كاذبة ، ففي الصورة التالية :                      ق   ←  ل                  ( و)  ق               -------------                      ل    سنقول ان المقدمتين تتضمنان النتيجة ( او ان الصورة صحيحة ) . اذا لم يكن بالامكان ان نجد أي حالة او امكانية من امكانيات الصدق " ق " و " ل " تكون فيها المقدمتين صادقتين والنتيجة كاذبة . كي نتأكد من ذلك سنحول الصورة الى صيغة شرطية كالاتي :         (( ق ←   ل )  ^  ق )  ←  ل                سنحاول الان ان نبين اذا كان بالامكان ان نجد حالة من الحالات يكون فيها مقدم الصيغة الشرطية صادقا وتاليها كاذبا . اذا لم نتمكن من ايجاد مثل هذه الخالة ، فلابد ان تكون صيغة الشرطية صادقة والصورة المقابلة لها ( أي صورة الحجة التي تمثلها صيغة الشرط ) صحيحة . سنحاول ان نجد حالة يكون فيها تالي الصيغة السابقة كاذبا ، المقدم صادقا . من اجل ذلك سنبدأ بالتالي وهو اقل تعقيدا من المقدم ، حيث انه مجرد متغير قضوي " ل " .    سنعطي التالي قيمة كاذبة ونرى ان كان بالامكان ان يصبح المقدم صادقا . يجب ان نراعي انه متى اعطينا متغيرا قضويا قيمة صدق معينة ، فلابد ان نعطيه نفس قيمة الصدق اين نجده في الصيغة . نلاحظ ان " ل " موجودة مرة واحدة . في المقدم سنعطيها قيمة كاذبة كما في التالي . سيكون لدينا الان الصيغة الاتية مع قيم بعض المتغيرات فيها محددة من قبلنا :                (( ق    ←    ل )   ^    ق )  ←  ل                                ك                      ك
     كل ما علينا الان هو ان نحاول ان امكن ان نجعل المقدم صادقا . سنبدأ بالصيغة الشرطية التي بين القوسين الداخليين . من اجل ان تصبح الصيغة الشرطية هذه صادقة لابد ان نعطي " ق " قيمة كاذبة ( لانه لو كانت " ق " صادقة و " ل " كاذبة فستكون الصيغة كاذبة ) وحيث ان " ق " موجودة في المقدم مرة ثانية ، فلابد ان نعطيها نفس القيمة أي كاذبة :                                    (( ق    ←     ل )    ^   ق )  ←   ل                       ك      ص    ك          ك           ك    كي نستخرج قيمة الصدق للمقدم سنربط قيمة الصيغة الشرطية بين القوسين الداخليين بقيمة الصدق للمكون الثاني لصيغة العطف . نلاحظ قيمة المقدم ستكون كاذبة ، وبالتالي فرابط الشرط الرئيسي ستكون قيمته صادقة :
          (( ق     ←    ل )      ^      ق )   ←     ل            ك      ص    ك       ك     ك      ص     ك    اذن في محاولتنا جعل المقدم صادقا والتالي كاذبا لم ننجح ، ووجدنا ان المقدم سيكون كاذبا ، بالتالي فالصيغة الشرطية  صادقة ، اذن صورة الحجة المقابلة للصيغة صحيحة .    لنأخذ مثالا اخر وليكن الصيغة الاتية :                 ( ل   ^   م  )  ←  ن  والمطلوب بيان ما اذا كانت هذه الصيغة الشرطية تمثل تحصيل حاصل ام لا . من اجل ذلك سنحاول ان نجد حالة واحدة يكون فيها المقدم صادقا والتالي كاذبا . ان تمكنا من ايجاد مثل هذه الحالة ، فان هناك حالة تكذب فيها هذه الصيغة الشرطية ، وبالتالي ليست تحصيل حاصل او قانون منطقي . ان لم نتمكن ، فهي اذن تحصيل حاصل . من اجل هذا سنعطي التالي قيمة كاذبة :                     ( ل  ^  م )  ←  ن                                          ك   نود ان نجعل المقدم صادقا . المقدم صيغة عطفية . العطف يصدق عندما يصدق مكونيه . سنعطي المكونيين قيمة صادقة :                     (  ل      ^      م )    ←     ن                       ص    ص   ص       ك     ك   اذن هناك حالة يصدق فيها المقدم ويكذب التالي . أي هناك حالة تكذب فيها الصيغة الشرطية . فهي اذن ليست تحصيل حاصل او قانون منطقي .     سنأخذ مثالا اكثر تعقيدا : (((( ق  ←  ل )  ^  ق ) ^  ( ⌐  ل ˅  م ))  ^ ( م  ←  ن )) ← ن         سنحاول الآن جعل تالي هذه الصيغة الشرطية كاذبا ، ومقدمها صادقا ان امكن ذلك .      سنعطي التالي اولا قيمة كاذبة ، ونعطي نفس القيمة الكاذبة للمتغير القضوي " ل " ( الذي يمثل التالي ) اين نجده في الصيغة وهو موجود مرة واحدة :   (((( ق  ←  ل )  ^  ق ) ^  ( ⌐  ل ˅  م ))  ^ ( م  ←  ن )) ←  ن                                                                       ك          ك      نجد هنا ان لدينا صيغة شرطية بين قوسين داخليين ، تاليها كاذبا . كي نجعل هذه الصيغة صادقة ( وهذا ما سنحاول طوال الوقت في كل صيغة نجدها في المقدم ) لابد ان نعطي مقدمها " م " قيمة كاذبة ، وسنعطي " م "  قيمة اذبة اين نجدها في الصيغة :   (((( ق  ←  ل )  ^  ق ) ^  ( ⌐  ل ˅  م ))  ^ ( م   ←   ن )) ←  ن                                                  ك         ك   ص   ك        ك    في الصيغة المنفصلة المكون الثاني كاذب . كي تكون الصيغة هذه صادقة لابد ان يكون المكون الاول صادقا . أي ان نفي " ل " لابد ان يكون صادقا ، وبالتالي لابد ان تكون " ل " كاذبة ، وهذه قيمتها اين نجدها في الصيغة . (((( ق  ←  ل )  ^  ق ) ^  ( ⌐   ل   ˅   م ))  ^ ( م   ←   ن )) ← ن                  ك                 ص  ك  ص  ك         ك   ص   ك        ك  نلاحظ في الصيغة الشرطية بين القوسين الداخليين ان التالي " ل "  له قيمة كاذبة . كي تكون الشرطية صادقة لابد ان تكون " ق " كاذبة ، وهذه هي قيمتها اين نجدها في الصيغة :(((( ق   ←   ل )  ^   ق ) ^  ( ⌐   ل   ˅   م ))  ^ ( م   ←   ن )) ← ن      ك    ص   ك       ك         ص  ك  ص  ك        ك   ص   ك   ص  ك   يتبقى الان ان نستخرج قيمة صيغة العطف الاولى على اليمين ثم الثانية والثالثة :
(((( ق  ←  ل )  ^  ق ) ^  ( ⌐   ل  ˅   م ))  ^  ( م  ←  ن )) ← ن     ك  ص  ك    ك  ك   ك   ص  ك  ص  ك   ك   ك  ص  ك   ص  ك
   اذن في محاولتنا جعل المقدم صادقا والتالي كاذبا لم نتمكن ، وكانت النتيجة ان المقدم كاذب والتالي كاذب . فالصيغة الشرطية الرئيسية صادقة . اذن هي تحصيل حاصل .      مثال آخر :  (( ق  ←  م  )  ^   ( م  ←  ل ))  ←  ( م  ←  ( ل  ˅  ق ))     يمكن ان نبدأ هنا بالمقدم او التالي ، لنأخذ التالي كما تعودنا ، نلاحظ انه صيغة شرطية مقدمها " م " وتاليها صيغة فصل . كي تكون الصيغة الشرطية كاذبة ( وهذا ما نود نحاوله ) لابد ان يكون " م " صادقة والصيغة المنفصلة كاذبة . كي تكون الصيغة المنفصلة كاذبة لابد ان يكون مكونيها كاذبين :     (( ق  ←  م  )  ^   ( م  ←  ل ))  ←  ( م   ←  ( ل   ˅   ق ))    ك        ص        ص      ك            ص   ك    ك    ك    ك   نلاحظ اننا اعطينا المتغيرات الموجودة في التالي نفس القيم اين وجدناها في الصيغة ، ستكون قيمة مقدم الرابط الرئيسي للمقدم " ك " ، والصيغة الشرطية اذن تحصيل حاصل :    (( ق  ←   م  )  ^   ( م   ←   ل ))  ←   ( م   ←  ( ل   ˅   ق ))     ك    ك   ص   ك    ص  ك    ك     ص   ص  ص    ك   ك   ك    مثالا اخر :     ((( ق   ^   ل  )   ˅  م )   ^   م  ) ←   ( ق  ^  ل )      سنحاول جعل المقدم صادقا والتالي كاذبا . نبدأ بالتالي . كي نجعل التالي كاذبا لدينا ثلاثة امكانيات سنحاولها جميعا هكذا :    ((( ق    ^    ل  )   ˅   م )    ^    م  )  ←    ( ق    ^     ل )       ص    ك   ك     ص  ص   ص  ص    ك      ص    ك    ك                                                               ك     ك   ص                                                             ك     ك    ك
   نلاحظ ان الحالة الاولى التي يكذب فيها التالي هي عندما يكون المكون الاول صادقا والتالي كاذبا . سنضع نفس القيم للمتغيرين اين نجدها في الصيغة ، وهما في الصيغة العطفية بين القوسين الداخليين . وبالتالي ستكون قيمتها كاذبة .     كي نجعل الصيغة المنفصلة صادقة ، وكذلك الصيغة العطفية التي تمثل قيمة مقدم الشرطية . اذن تمكنا من ايجاد حالة يكون فيها المقدم صادقا والتالي كاذبا . اذن الصيغة الشرطية ليست تحصيل حاصل . كان لابد ان نستمر ونحاول مع باقي الامكانيات لو اننا لم نتمكن من ذلك في الحالة الاولى . في هذا المثال لا داعي للاستمرار ما دمنا وجدنا هذه الحالة المطلوبة .  مثال اخر :       ((( ق   ←  ل  )   ^ ق ) ← ل ) ↔ ( ق  ˅  ⌐ ل )          نلاحظ ان هذه الصيغة رابطها الرئيسي هو التشارط . من اجل ان نعرف اذا كانت صادقة دائما ، نحاول ان نرى ان كانت هناك حالات تكذب فيها . نعلم ان صيغة التشارط تكذب عندما يصدق المكون الاول ويكذب الثاني والعكس . سنرى ان كان بالامكان خلق مثل هاتين الحالتين هنا :
  ((( ق    ←   ل  )   ^    ق )  ←   ل )  ↔  ( ق    ˅    ⌐    ل )      ص   ك    ك      ك   ص   ص   ك    ص   ص  ص   ص   ك      ك     ك   ص     ك    ك    ص  ص    ك     ك   ك     ك    ص    في السطر الاول حاولنا ان نجعل المكون الثاني صادقا ، والمكون الاول كاذبا  دون نجاح .       كي نجعل المكون الثاني صادقا لابد ان يكون المكونين في العطف صادقين ، وقد نجحنا في خلق هذه الحالة . سنعطي نفس المتغيرات نفس قيم الصدق اين نجدها في الصيغة . وجدنا ان المكون الاول لصيغة التشارط صادق ، اذن لم ننجح في الحالة الاولى ان نجعل الصيغة كاذبة .
    في السطر الثاني سنحاول جعل المكون الثاني كاذبا والمكون الاول صادقا . وقد نجحنا في ذلك . اذن هناك حالة تكذب فيها صيغة التشارط . اذن ليست صيغة تحصيل حاصل .